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《柯西施瓦茨不等式》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文柯西施瓦茨不等式的應(yīng)用及推廣作者：查敏指導(dǎo)老師:蔡改香摘要本文探討的是柯西施瓦茨不等式在不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域的各種形式和內(nèi)容及其多種證明方法和應(yīng)用，并對其進行了一定程度上的推廣.通過一系列的例題，反映了柯西施瓦茨不等式在證明相關(guān)的數(shù)學(xué)命題時可以使得解題方法得以簡捷明快，甚至可以得到一步到位的效果，特別是在概率統(tǒng)計中的廣泛應(yīng)用.關(guān)鍵詞Cauchy-Schwarz不等式Minkowski不等式Holder不等式Hermite陣1引言柯西施瓦茨不等式在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用比較廣泛，是異于均值不等式的另一個重要不等式，靈活巧妙的運用它，可以使一
2、些較困難的實際問題得到比較簡捷地解決，這個不等式結(jié)構(gòu)和諧，無論代數(shù)、幾何，都可以應(yīng)用.本文正是從實數(shù)域、微積分.內(nèi)積空間、概率空間以及矩陣分析這五個方面的內(nèi)容進行證明并舉例說明其應(yīng)用，對實數(shù)域和微積分中的形式進行了一定程度的推廣.2在實數(shù)域中的Cauchy不等式命題1設(shè)，則（1）其中當(dāng)且僅當(dāng)（為常數(shù)）等號成立.證明由則由于,因此上述不等式的判別式大于零，即：易得（1）式成立.例1設(shè)求證證明由不等式左邊的形式，很容易想到柯西不等式解之第18頁共18頁安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文柯西施瓦茨不等式在實數(shù)域中的應(yīng)用十分廣泛，而且許多著名的不等式就是用柯西施
3、瓦茨不等式直接導(dǎo)出.下面介紹兩個著名的不等式.由上面的柯西施瓦茨不等式可以得到Minkowski不等式定理1任意的個實數(shù)，有（2）事實上，由（1）得這就證明了（2）.將柯西施瓦茨不等式中的冪指數(shù)擴充，則有赫爾德不等式.定理2對任意的非負(fù)數(shù)有其中，滿足且.證明由楊格不等式，其中且得第18頁共18頁安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文赫爾德不等式中，當(dāng)時為柯西施瓦茨不等式，若將則可導(dǎo)出相應(yīng)的無窮不等式.由定理2可將定理1的冪指數(shù)進行擴充定理3若對任意的非負(fù)實數(shù)，，且，則證明由楊格不等式化簡即得所要證得的不等式.還可將上述赫爾德不等式推廣到無限和不等式：推論1若
4、對任意非負(fù)實數(shù)，有，則下面將上命題1進行推廣：引理1（算術(shù)-幾何平均值不等式）設(shè)為個正數(shù)，則，等號成立的充要條件為.引理2設(shè),作定義：第18頁共18頁安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文則在中定義了的加法、數(shù)乘、內(nèi)積作成上的線性空間一定構(gòu)成歐幾里得空間，簡稱歐氏空間(在介紹柯西施瓦茨不等式在內(nèi)積空間中的應(yīng)用時會用到此定義).推論2設(shè)是組實數(shù)，則有（2）等號成立的充要條件為.證明為方便起見，不妨設(shè)從而由引理1有對上式進行的累次求和，可得即（4）由于同理，這樣（4）式為再兩邊同時次冪，得故證得（3）式成立.注1在命題1中，除，其余均為1，且，則不等式（3）就是
5、不等式（1）的推廣.推論3（將命題1推廣為無限和不等式）設(shè)且，第18頁共18頁安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文，，則（證明過程可仿推論2的證法并結(jié)合引理2）.3微積分中的Cauchy-Schwarz不等式命題2設(shè)在可積，則（5）證明類似命題1可以利用判別式證明之.下面給出另一種證法:因為在上可積，則由定積分的性質(zhì)均在上上可積，對區(qū)間進行n等分，分點為.由定積分的定義，有由（1）式知再由極限的保號性易知（5）式成立.注2若對，或成正比，則（5）式等號成立，但其逆不真.例如，除有限點外，，有，但并不成比例.第18頁共18頁安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院20
6、12屆畢業(yè)論文例2利用柯西施瓦茨不等式求極限：設(shè)在上連續(xù)，有正下界，記，求證：.證明為了分析的變化趨勢，研究鄰項之間的關(guān)系.因為，平方得，即.因為在連續(xù)，所以存在，使得,故因為單調(diào)有上界，所以有極限.即在微積分中的柯西施瓦茨不等式也可以得到一些比較著名的不等式，如下面介紹的Minkowski不等式：定理4設(shè)在可積，則Minkowski不等式第18頁共18頁安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文證明由（5）式因為兩邊都大于等于零，且右邊大括號也大于等于零，所以有將柯西施瓦茨不等式的冪指數(shù)進行擴充，有Holder不等式定理5，，且，則證明得證.利用定理5，將定理
7、4的冪指數(shù)進行擴充，有第18頁共18頁安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文證明可參考定理3的證明，且p=2即為定理4中的不等式.同樣將上命題2進行推廣.推論4設(shè)是閉區(qū)間上為正的個可積函數(shù)，則（6）證明不妨設(shè)則由引理1可得這樣就證得不等式（6）成立.注3在推論4中，取，則得到柯西施瓦茨不等式，即不等式（5）.注4不等式（5）可寫成受此啟發(fā)，易于得到柯西施瓦茨不等式更為一般的推廣形式：設(shè)是閉區(qū)間上的可積函數(shù)，則有即為第18頁共18頁安慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院2012屆畢業(yè)論文并且等號成立的充要條件為：存在不全為零的常數(shù)使得.推論5（將命題
