關(guān)于柯西-施瓦茨不等式證明.pdf

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1、西南科技大學(xué)《高教研究》2009年第4期(總第93期)關(guān)于柯西一施瓦茨不等式證明付英貴(西南科技大學(xué)理學(xué)院四川綿陽621010)摘要：柯西一施瓦茨不等式是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)難點(diǎn)問題，本文將用三種不同證明方法，注明三種不同方法在處理中的難點(diǎn)和重點(diǎn)，同時(shí)討論柯西一施瓦茨不等式的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：定積分；二重積分；柯西一施瓦茨不等式一、柯西一施瓦茨不等式：設(shè))，g()在區(qū)間[a，b]上均勻連續(xù)，證明：[砒㈤】≤㈩g()dx證法一：作函數(shù)，F(xiàn)(x)=[()g()]一J()·g()，因F()=2ff(t)g(t)dt)g()一f()fgZ(t)d

2、t—g2()f／(t)dt=f2f(x)g(x)f(t)g(t)dt—ff2()g(t)dt一』f2(￡)g(x)dx=一f[x)g(￡)一f)g()]dt≤0故F(x)在[a，b]上單調(diào)下降，即F(b)≤F(a)，(aa>e證明：a>b“分析：a>bO~=~blna>alnbc=~blna—alnb>0作)：xlna—a

3、nx(≥口)證法二：對任

4、意實(shí)數(shù)A有：[Af()+g(x)]>10兩邊積分bb，b6『[)+g()]dx=A』。(x)dx+2AJ_廠()g()+fg(x)dx≥0故A的二次三項(xiàng)式的判別法△=4nc=4[()]一4()dx·g(≤0即[班()】≤(州·rg()dx注：本證明方法關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化成二次三項(xiàng)式有無根的問題，同時(shí)利用定積分性質(zhì)來證明。本方法中建立二次三項(xiàng)式方法值得關(guān)注。60證法三：ff[)g()一)，)g()]2dy上Jn()g()一2f()g()L，()g()+f2(y)g()3dr=[㈤g2(y)dy]dx一2㈩y)g()+f[(()dy]

5、dx=㈩y一2[砒㈤]+。㈩．州=2{㈤·g㈤一【咖㈤])．OO并且僅當(dāng)=Y時(shí)，IdxJ[)g(y)一y)g()]dy=0，故JⅡ㈩()出·Jng2g㈤()dx=【IJf。廠(戈)g()dx]1‘口若x#y時(shí)，JdxJ[)g(y)一，(y)g()]dy>0，故nⅡ㈩·州>【砒㈤]綜上所述，則有【)g()]≤()·g()注：本證明方法將本問題轉(zhuǎn)化成二重積分問題，同時(shí)注意和輪換對稱性和討論。本方法中重積分輪換對稱性，對稱性在積分中應(yīng)用是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個(gè)重點(diǎn)、難點(diǎn)，在教學(xué)中請學(xué)生注意。分祆：＼＼八x，y)dxd)’：＼＼y，x)dx

6、dyD關(guān)彳y：。c對稱搿蚴：。搿蛐二、例：設(shè))在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且)>0，證明：棚·r志≥證：志=·r[≥而西]：(b-a)。參考文獻(xiàn)[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室．高等數(shù)學(xué)(上、下冊)第四版[M]．北京：高等教育出版社，20066I