高數(shù)小結(jié)及各年試題

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1、高數(shù)（下）小結(jié)一、微分方程復(fù)習(xí)要點(diǎn)解微分方程時(shí)，先要判斷一下方程是屬于什么類(lèi)型，然后按所屬類(lèi)型的相應(yīng)解法求出其通解.一階微分方程的解法小結(jié)：方程編號(hào)類(lèi)型一般形式解法備注1型可分離變量方程或分離變量法有些方程作代換后可化為1型2型齊次方程或令為1型求解有時(shí)方程寫(xiě)成令化為1型求解3型線(xiàn)性方程或1．常數(shù)變易法2．湊導(dǎo)數(shù)法：同乘有時(shí)方程不是關(guān)于線(xiàn)性方程，而是關(guān)于線(xiàn)性方程4型貝努里方程或令或化為3型求解有時(shí)方程不是關(guān)于的貝努里方程，而是關(guān)于貝努里方程5型全微分方程其中為原函數(shù)有時(shí)乘以一個(gè)積分因子可化為5型二階微分方程的解法小結(jié)：21類(lèi)型特征求解方

2、法備注缺次積分求解見(jiàn)上冊(cè)缺令，降為一階方程降價(jià)后是關(guān)于p，的一階方程缺令，降為一階方程降價(jià)后是關(guān)于,y的一階方程常系數(shù)通解見(jiàn)下表齊次方程的通解為：判別式兩特征根情況通解相異實(shí)根，二重實(shí)根共軛復(fù)根非齊次方程的特解的形式為：的形式特征根情況的形式不是特征根是重特征根不是特征根是特征根主要:一階1、可分離變量方程、線(xiàn)性微分方程的求解；212、二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程的求解；3、二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的特解二、多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)要點(diǎn)一、偏導(dǎo)數(shù)的求法1、顯函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法在求時(shí)，應(yīng)將看作常量，對(duì)求導(dǎo)，在求時(shí)，應(yīng)將看作常量，對(duì)求導(dǎo)，所運(yùn)用

3、的是一元函數(shù)的求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式.2、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法設(shè)，，，則，幾種特殊情況：1），，，則2），，則，3），則，3、隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的求法1）一個(gè)方程的情況設(shè)是由方程唯一確定的隱函數(shù)，則，或者視，由方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)解出.2）方程組的情況21由方程組兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)解出即可.二、全微分的求法方法1：利用公式方法2：直接兩邊同時(shí)求微分，解出即可.其中要注意應(yīng)用微分形式的不變性：三、空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)及空間曲面的法平面的求法1）設(shè)空間曲線(xiàn)Г的參數(shù)方程為，則當(dāng)時(shí)，在曲線(xiàn)上對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線(xiàn)方向向量為，切線(xiàn)方程為法平面方程為2）若曲面的方程為，則在

4、點(diǎn)處的法向量，切平面方程為法線(xiàn)方程為若曲面的方程為，則在點(diǎn)處的法向量，切平面方程為21法線(xiàn)方程為四、多元函數(shù)極值（最值）的求法1無(wú)條件極值的求法設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由，，解出駐點(diǎn)，記，，.1）若，則在點(diǎn)處取得極值，且當(dāng)時(shí)有極大值，當(dāng)時(shí)有極小值.2）若，則在點(diǎn)處無(wú)極值.3）若，不能判定在點(diǎn)處是否取得極值.2條件極值的求法函數(shù)在滿(mǎn)足條件下極值的方法如下：1）化為無(wú)條件極值：若能從條件解出代入中，則使函數(shù)成為一元函數(shù)無(wú)條件的極值問(wèn)題.2）拉格朗日乘數(shù)法作輔助函數(shù)，其中為參數(shù)，解方程組21求出駐點(diǎn)坐標(biāo)，則駐點(diǎn)可能是條件極值點(diǎn)

5、.3最大值與最小值的求法若多元函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，求出函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的駐點(diǎn)，計(jì)算出在這些點(diǎn)處的函數(shù)值，并與區(qū)域的邊界上的最大（最?。┲当容^，最大（最?。┱?，就是最大（最?。┲?主要:1、偏導(dǎo)數(shù)的求法與全微分的求法；2、空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)及空間曲面的法平面的求法3、最大值與最小值的求法三、多元函數(shù)積分學(xué)復(fù)習(xí)要點(diǎn)七種積分的概念、計(jì)算方法及應(yīng)用如下表所示：積分類(lèi)型積分記號(hào)定義及幾何意義積分區(qū)域積分元素被積函數(shù)一重積分曲邊梯形面積區(qū)間=一元函數(shù)二重積分曲頂柱體體積平面區(qū)域D二元函數(shù)三重積分空間區(qū)域三元函數(shù)第一類(lèi)曲線(xiàn)積分平面或空間曲線(xiàn)Lds==二元或

6、三元函數(shù)21第二類(lèi)曲線(xiàn)積分平面或空間曲線(xiàn)L二元或三元函數(shù)第一類(lèi)曲面積分空間曲面三元函數(shù)第二類(lèi)曲面積分空間曲面三元函數(shù)計(jì)算方法應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量重心其它（面積.體積.功等）見(jiàn)上冊(cè)表后*所示1）or2)1體積2）曲面面積A=1)2)3)柱面坐標(biāo)法4）球面坐標(biāo)法=體積V=211）2)3）4）化為第二類(lèi)曲線(xiàn)積分==曲線(xiàn)所圍面積A=2）3）4）5）公式計(jì)算法6）折線(xiàn)計(jì)算法（積分與路徑無(wú)關(guān)時(shí)）；7）連續(xù)變形原理計(jì)算法；8）公式計(jì)算法1）功W=求二元函數(shù)的“原函數(shù)”==面積S=1）直接代入法2）Gaus公式計(jì)算法；3）投影轉(zhuǎn)移法*定積分的幾何應(yīng)用定積分應(yīng)用

7、的常用公式：(1)面積（型區(qū)域的面積）（型區(qū)域的面積）(2)體積21（橫截面面積已知的立體體積）（所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得的立體體積）（所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的立體體積）（所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的立體體積）(3)弧長(zhǎng)計(jì)算時(shí)注意：（1）正確選擇恰當(dāng)?shù)墓?；?）正確的給出積分上下限；（3）注意對(duì)稱(chēng)性使問(wèn)題簡(jiǎn)化；（4）注意選擇恰當(dāng)?shù)姆e分變量以使問(wèn)題簡(jiǎn)化．計(jì)算多元函數(shù)的積分時(shí)要注意利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化積分的計(jì)算：1）、對(duì)二、三重及第一類(lèi)的線(xiàn)面積分，若積分區(qū)域關(guān)于變量對(duì)稱(chēng)，則當(dāng)被積函數(shù)關(guān)于為奇函數(shù)時(shí)，該積分為0，當(dāng)被積函數(shù)關(guān)于變量為偶函數(shù)時(shí)，則該積分為相應(yīng)一半?yún)^(qū)域積

8、分的二倍.2）、對(duì)第二類(lèi)的線(xiàn)面積分，關(guān)于積分變量的對(duì)稱(chēng)性理論與上相同，關(guān)于非積分變量的對(duì)稱(chēng)性理論與上相反.3）、若積分區(qū)域的地位平等（即將表示區(qū)域的方程互換不變），則將被積函數(shù)中互換積分不變.此稱(chēng)之為輪換對(duì)