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1、左右極限兩個(gè)重要極限求極限的常用方法無(wú)窮小的性質(zhì)極限存在的充要條件判定極限存在的準(zhǔn)則無(wú)窮小的比較極限的運(yùn)算法則函數(shù)極限等價(jià)無(wú)窮小及其性質(zhì)極限的性質(zhì)無(wú)窮小兩者的關(guān)系無(wú)窮大左極限右極限無(wú)窮小:極限為零的變量稱為無(wú)窮小.絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大.無(wú)窮大:在同一過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大.無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系2、無(wú)窮小與無(wú)窮大定理1在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.定理2有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論1在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2常數(shù)與無(wú)窮小的乘
2、積是無(wú)窮小.推論3有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)定理推論1推論23、極限的運(yùn)算法則4、求極限的常用方法a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無(wú)窮小因子分出法求極限;d.利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.5、判定極限存在的準(zhǔn)則(夾逼準(zhǔn)則)準(zhǔn)則Ⅱ開(kāi)區(qū)間內(nèi)單調(diào)有界函數(shù)在端點(diǎn)處必有極限.準(zhǔn)則Ⅲ極限存在充要條件左右極限存在且相等(1)(2)6、兩個(gè)重要極限則有拓展:若定義:7、無(wú)窮小的比較定理(等價(jià)無(wú)窮小替換定理)8、等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)極限的性質(zhì):唯一性定理局部有界性定理
3、局部保序性定理局部保號(hào)性定理左右連續(xù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)初等函數(shù)的連續(xù)性間斷點(diǎn)定義連續(xù)定義連續(xù)的充要條件連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)振蕩間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)第一類第二類1、連續(xù)的定義定理3、連續(xù)的充要條件2、單側(cè)連續(xù)4、間斷點(diǎn)的定義(2)跳躍間斷點(diǎn)(1)可去間斷點(diǎn)5、間斷點(diǎn)的分類跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn):可去型第一類間斷點(diǎn)跳躍型0yx0yx0yx無(wú)窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)0yx第二類間斷點(diǎn)6、閉區(qū)間的連續(xù)性7、連續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì)定理定理1嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反
4、函數(shù).定理28、初等函數(shù)的連續(xù)性定理3定理4基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理5一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.9、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.基本定理:在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)的值域?yàn)殚]區(qū)間.定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.求導(dǎo)法則基本公式導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)1、導(dǎo)數(shù)的定義定義2.右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù):2、基本導(dǎo)數(shù)公式（常數(shù)和
5、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）3、求導(dǎo)法則(1)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(2)反函數(shù)的求導(dǎo)法則(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(4)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法先在方程兩邊取對(duì)數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).適用范圍:(5)隱函數(shù)求導(dǎo)法則用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).(6)參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則4、高階導(dǎo)數(shù)記作二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),(二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù))例1則有回顧:若二、例題（極限、連續(xù)）解：例2.求下列極限：提示:無(wú)窮小有界令～例4解例5解有無(wú)窮間斷點(diǎn)及可去間斷點(diǎn)解:為無(wú)窮間斷點(diǎn),所以為可去間斷點(diǎn),極限存在例6
6、.設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)a及b.例7證明討論:（注意連續(xù)區(qū)間發(fā)生變化）由零點(diǎn)定理知,綜上,例8.當(dāng)時(shí),是的幾階無(wú)窮小?解:設(shè)其為的階無(wú)窮小,則因故三、例題（導(dǎo)數(shù)）例1解例2.若且存在,求解:原式=且聯(lián)想到湊導(dǎo)數(shù)的定義式例3.且存在,問(wèn)怎樣選擇可使下述函數(shù)在處有二階導(dǎo)數(shù).解:由題設(shè)存在,因此1)利用在連續(xù),即得2)利用而得3)利用而得例4解例5解分析:不能用公式求導(dǎo).例6解先去掉絕對(duì)值例7解兩邊取對(duì)數(shù)例8解分析：例9解
