專題 函數(shù)的周期性

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1、專題函數(shù)的周期性一知識(shí)點(diǎn)精講1．周期函數(shù)的定義：對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)，都存在非零常數(shù)，使得恒成立，則稱函數(shù)具有周期性，叫做的一個(gè)周期，則（）也是的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期．周期函數(shù)的定義域一定是無限集2性質(zhì)①若f(x)的周期中，存在一個(gè)最小的正數(shù)，則稱它為f(x)的最小正周期；②若周期函數(shù)f(x)的周期為T，則是周期函數(shù)，且周期為。3．幾種特殊的具有周期性的抽象函數(shù)：函數(shù)滿足對(duì)定義域內(nèi)任一實(shí)數(shù)（其中為常數(shù)）（1），則的周期．（2），則的周期．（3），則的周期．（4），則的周期．（5），則的周期．（6），則的

2、周期數(shù)．（7），則的周期．（8）函數(shù)滿足（），若為奇函數(shù)，則其周期為，若為偶函數(shù)，則其周期為．（9）函數(shù)的圖象關(guān)于直線和都對(duì)稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)．（10）函數(shù)的圖象關(guān)于兩點(diǎn)、都對(duì)稱，則函數(shù)是為周期的周期函數(shù)．（11）函數(shù)的圖象關(guān)于和直線都對(duì)稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)．(12)，則的周期.二典例解析1．設(shè)f(x)是(－∞,+∞)上的奇函數(shù)，f(x+2)=－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=x，則f(7.5)=()A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.52．若y=f(2x)的圖像關(guān)于直線和對(duì)稱，則f(x)的

3、一個(gè)周期為（）A．B．C．D．3．已知在R上是奇函數(shù)滿足，則4．已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，則=例5．已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時(shí)函數(shù)取得最小值。①證明：；②求的解析式；③求在上的解析式。9、函數(shù)定義域?yàn)镽，且恒滿足和，當(dāng)時(shí)，，求解析式。10、已知偶函數(shù)定義域?yàn)镽，且恒滿足，若方程在上只有三個(gè)實(shí)根，且一個(gè)根是4，求方程在區(qū)間中的根。附參考答案：：：：：y軸即：①y軸②：①②：C：②④：：方程的根為共9個(gè)根。2.是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且，則方程在區(qū)間內(nèi)

4、解的個(gè)數(shù)的最小值是（）A．5B．4C．3D．24.是偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，則f(1992)=6.數(shù)列中7已知是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.求在上的解析式。8的定義域是R，且,若,求?的值。9．已知函數(shù)滿足，若，試求(2005)。（2009山東理）10.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=，則f（2009）的值為()A.-1B.0C.1D.2【解析】:由已知得,,,,,,,,所以函數(shù)f(x)的值以6為周期重復(fù)性出現(xiàn).,所以f（2009）=f（5）=1,故選C.（2009山東理）16.已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間[

5、0,2]上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根,則w.w.w.k.s.5.u.c.o.m-8-6-4-202468yxf(x)=m(m>0)【解析】:因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿足,所以,所以,由為奇函數(shù),所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱且,由知,所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),又因?yàn)樵趨^(qū)間[0,2]上是增函數(shù),所以在區(qū)間[-2,0]上也是增函數(shù).如圖所示,那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根,不妨設(shè)由對(duì)稱性知所以答案:-8（2009全國(guó)一）（11）函數(shù)的定義域?yàn)镽，若與都是奇函數(shù)，則(D)w

6、.w.w.k.s.5.u.c.o.m(A)是偶函數(shù)(B)是奇函數(shù)(C)(D)是奇函數(shù)解:與都是奇函數(shù)，，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)，及點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)是周期的周期函數(shù).，，即是奇函數(shù)。故選D專題函數(shù)對(duì)稱性一知識(shí)點(diǎn)精講：I函數(shù)圖象本身的對(duì)稱性（自身對(duì)稱）若，則具有周期性；若，則具有對(duì)稱性：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對(duì)稱性”。1、圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論1：的圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論2、的圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論3、的圖象關(guān)于直線對(duì)稱2、的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱推論1、的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱推論2、的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱推論3、的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱II兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱性（相互對(duì)稱

7、）（利用解析幾何中的對(duì)稱曲線軌跡方程理解）1、與圖象關(guān)于Y軸對(duì)稱2、與圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)3、函數(shù)與圖象關(guān)于X軸對(duì)稱4、函數(shù)與其反函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱5.函數(shù)與圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論1:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論2:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論3:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對(duì)稱二典例解析：1、定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)恒滿足，且時(shí),,則________。解析：關(guān)于直線對(duì)稱，，又是奇函數(shù)，，故有，,2、已知函數(shù)滿足，則圖象關(guān)于__________對(duì)稱。解析：這是一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性，由上述結(jié)論知圖象關(guān)于對(duì)稱3、函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于關(guān)于_____

8、_____對(duì)稱。解析：這是兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性，兩函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱4、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，則的圖象關(guān)于__________對(duì)稱。解析：這是一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性，的圖象關(guān)于y軸即對(duì)稱5、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，則的圖象關(guān)于__________對(duì)稱。解析：關(guān)于直線對(duì)稱，是由向左平移一個(gè)單位得到的，故的