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《專題 函數(shù)的周期性》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、專題函數(shù)的周期性一知識(shí)點(diǎn)精講1.周期函數(shù)的定義:對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè),都存在非零常數(shù),使得恒成立,則稱函數(shù)具有周期性,叫做的一個(gè)周期,則()也是的周期,所有周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期.周期函數(shù)的定義域一定是無(wú)限集2性質(zhì)①若f(x)的周期中,存在一個(gè)最小的正數(shù),則稱它為f(x)的最小正周期;②若周期函數(shù)f(x)的周期為T,則是周期函數(shù),且周期為。3.幾種特殊的具有周期性的抽象函數(shù):函數(shù)滿足對(duì)定義域內(nèi)任一實(shí)數(shù)(其中為常數(shù))(1),則的周期.(2),則的周期.(3),則的周期.(4),則的周期.(5),則的周期.(6),則的周期數(shù).(7),則的周期.(8
2、)函數(shù)滿足(),若為奇函數(shù),則其周期為,若為偶函數(shù),則其周期為.(9)函數(shù)的圖象關(guān)于直線和都對(duì)稱,則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù).(10)函數(shù)的圖象關(guān)于兩點(diǎn)、都對(duì)稱,則函數(shù)是為周期的周期函數(shù).(11)函數(shù)的圖象關(guān)于和直線都對(duì)稱,則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù).(12),則的周期.二典例解析1.設(shè)f(x)是(-∞,+∞)上的奇函數(shù),f(x+2)=-f(x),當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x,則f(7.5)=()A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.52.若y=f(2x)的圖像關(guān)于直線和對(duì)稱,則f(x)的一個(gè)周期為()..A.B.C.D.3.已知在R上是奇函數(shù)滿足
3、,則4.已知定義在R上的奇函數(shù)滿足,則=例5.已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù),周期,函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函數(shù),在上是二次函數(shù),且在時(shí)函數(shù)取得最小值。①證明:;②求的解析式;③求在上的解析式。9、函數(shù)定義域?yàn)镽,且恒滿足和,當(dāng)時(shí),,求解析式。10、已知偶函數(shù)定義域?yàn)镽,且恒滿足,若方程在上只有三個(gè)實(shí)根,且一個(gè)根是4,求方程在區(qū)間中的根。附參考答案:::::y軸即:①y軸②:①②:C:②④::方程的根為共9個(gè)根。2.是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù),且,則方程在區(qū)間內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是()A.5B.4C.3D.24.是偶函數(shù),且為奇函數(shù),則f(1992
4、)=6.數(shù)列中7已知是以2為周期的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),.求在上的解析式。..8的定義域是R,且,若,求?的值。9.已知函數(shù)滿足,若,試求(2005)。(2009山東理)10.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=,則f(2009)的值為()A.-1B.0C.1D.2【解析】:由已知得,,,,,,,,所以函數(shù)f(x)的值以6為周期重復(fù)性出現(xiàn).,所以f(2009)=f(5)=1,故選C.(2009山東理)16.已知定義在R上的奇函數(shù),滿足,且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根,則w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
5、-8-6-4-202468yxf(x)=m(m>0)【解析】:因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù),滿足,所以,所以,由為奇函數(shù),所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱且,由知,所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),又因?yàn)樵趨^(qū)間[0,2]上是增函數(shù),所以在區(qū)間[-2,0]上也是增函數(shù).如圖所示,那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根,不妨設(shè)由對(duì)稱性知所以..答案:-8(2009全國(guó)一)(11)函數(shù)的定義域?yàn)镽,若與都是奇函數(shù),則(D)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(A)是偶函數(shù)(B)是奇函數(shù)(C)(D)是奇函數(shù)解:與都是奇函數(shù),,函數(shù)關(guān)于點(diǎn),及點(diǎn)對(duì)稱,函數(shù)是周期的
6、周期函數(shù).,,即是奇函數(shù)。故選D專題函數(shù)對(duì)稱性一知識(shí)點(diǎn)精講:I函數(shù)圖象本身的對(duì)稱性(自身對(duì)稱)若,則具有周期性;若,則具有對(duì)稱性:“內(nèi)同表示周期性,內(nèi)反表示對(duì)稱性”。1、圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論1:的圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論2、的圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論3、的圖象關(guān)于直線對(duì)稱2、的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱推論1、的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱推論2、的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱推論3、的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱II兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱性(相互對(duì)稱)(利用解析幾何中的對(duì)稱曲線軌跡方程理解)1、與圖象關(guān)于Y軸對(duì)稱2、與圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)..3、函數(shù)與圖象關(guān)于X軸對(duì)稱4、函數(shù)與其反函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱5.函數(shù)與圖象
7、關(guān)于直線對(duì)稱推論1:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論2:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對(duì)稱推論3:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對(duì)稱二典例解析:1、定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)恒滿足,且時(shí),,則________。解析:關(guān)于直線對(duì)稱,,又是奇函數(shù),,故有,,2、已知函數(shù)滿足,則圖象關(guān)于__________對(duì)稱。解析:這是一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性,由上述結(jié)論知圖象關(guān)于對(duì)稱3、函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于關(guān)于__________對(duì)稱。解析:這是兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性,兩函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱4、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,且滿足,則的圖象關(guān)于__________對(duì)稱。解析:這是一個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性,的圖象關(guān)于y軸即對(duì)稱5、設(shè)函數(shù)的
8、定義域?yàn)镽,且滿足,則的圖象關(guān)于__________對(duì)稱。解析:關(guān)于直線對(duì)稱,是由向左平移一個(gè)