1.2.1函數(shù)的概念

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1、§1.2.1函數(shù)的概念教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能：函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型．高中階段不僅把函數(shù)看成變量之間的依賴關(guān)系，同時還用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù)，高中階段更注重函數(shù)模型化的思想與意識．2、過程與方法：（1）通過實例，進(jìn)一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；（2）了解構(gòu)成函數(shù)的要素；（3）會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；（4）能夠正確使用“區(qū)間”的符號表示某些函數(shù)的定義域；3、情態(tài)與價值，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)函數(shù)的必要性的重要性，激發(fā)學(xué)習(xí)的積極性。教學(xué)重點：1.映射,函數(shù)的概念;2.

2、函數(shù)定義域,值域的求解.教學(xué)難點：1.概念的理解;2.函數(shù)定義域,值域的求解.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)集合的相關(guān)概念以及初中對函數(shù)的認(rèn)識二、講授新課(一)映射1.映射:一般地,設(shè)是兩個非空集合,如果按照某種對應(yīng)法則,對于集合中的任何一個元素,在集合中都又唯一的元素和他對應(yīng),那么這樣的對應(yīng)(包括集合以及到的對應(yīng)法則)叫做集合到集合的映射,記作,其中與中的元素對應(yīng)的中的元素叫做的象,叫做的原象().2.映射的特點:(1)“到”:映射的方向性.(2)“任一”:就是集合中任何一個元素,集合中都有元素和它對應(yīng)即存在性.(3)“唯一”:對于中的元素,中都有唯一的元素和它對對應(yīng)即唯一性.(4)“在集合中”:

3、也就是說中元素的對應(yīng)元素必然在集合中即封閉性.3.一一映射:設(shè)是兩個集合,是集合到集合的映射,如果在這個映射下,對于集合中的不同元素,在集合中有不同的象,而且中的每一個元素都有原象,那么這個映射叫做到的一一映射.(二)函數(shù)1.函數(shù):一般地,設(shè)是兩個非空數(shù)集,如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系,使得對于集合中的任意一個數(shù),在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng),那么就稱為從集合到集合的一個函數(shù).記作:.其中,叫做自變量,的取值范圍叫做函數(shù)的定義域,與的值相對應(yīng)的的值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域.2.幾點注意:(1)函數(shù)是一種特殊的映射;(2)函數(shù)的三要素:定義域,值域,對應(yīng)法則;(確定函數(shù)只需

4、確定定義域和對應(yīng)法則)(3)集合均為非空數(shù)集;(4)定義域,值域3.求解函數(shù)定義域的基本方法:函數(shù)的定義域是使得函數(shù)有意義的自變量的取值構(gòu)成的集合,求解中要注意以下幾條:(1)分式中分母不為;(2)偶次根式中的被開方式大于等于;(3)中的底不為;(4)應(yīng)用題應(yīng)考慮自變量的實際意義;(5)如果式由個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的,那么函數(shù)的定義域是使每部分十字都由意義的實數(shù)集合.4.求解函數(shù)值域的基本方法:在求解函數(shù)值域之前,必須先確定函數(shù)的定義域,然后再按下列方法進(jìn)行求解.(1)直接法:利用常見函數(shù)的值域來求解;(2)換元法:形如這樣的無理函數(shù)值域問題;(3)配方法:形如的函數(shù)值域問題,但求解過程

5、中要注意的范圍;(4)判別式法:判別式法一般用于分式函數(shù),其分子或分母中最高為二次式且至少有一個為二次式,解題中要注意二次項系數(shù)是否為的討論及函數(shù)的定義域;(5)分段函數(shù):確定每一段函數(shù)的值域,作后取并集;(6)圖象法:利用常見函數(shù)的圖象來確定值域;(7)變量分離法:形如可化為,在利用反比例函數(shù)的圖象進(jìn)行求解.5.區(qū)間的概念:------閉區(qū)間------左閉右開區(qū)間------左開右閉區(qū)間------開區(qū)間三、典例剖析例1以下給出的對應(yīng)是不是從集合到的映射?(1)集合,對應(yīng)關(guān)系:數(shù)軸上的點與它所代表的實數(shù)對應(yīng);(2)集合,對應(yīng)關(guān)系:平面直角坐標(biāo)系中的點與它的坐標(biāo)對應(yīng);(3)集合,對應(yīng)關(guān)

6、系:每一個三角形對應(yīng)它的內(nèi)切圓;(4)集合,對應(yīng)關(guān)系:每一個班級都對應(yīng)班級的學(xué)生.解:(1)(2)(3)是映射,(4)不是映射.例2(1)在映射下的象是,則在下的原象是______;(2)已知是從集合到的一個映射,則中的元素在中的原象是__________;(3)已知,則從到的映射有幾個?解:(1)(2)(3)四個,包括例3下列函數(shù)中哪個與函數(shù)表示同一個函數(shù)?(1);(2);(3);(4).解:只有(2)是,其他的均不是.從定義域以及對應(yīng)法則兩方面綜合考慮.例4已知函數(shù),(1)求函數(shù)的定義域;(2)求的值;(3)當(dāng)時,求的值.解:略例5求下列函數(shù)的定義域:(1);(2);(3);(4);

7、(5);(6);(7);(8)解:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)例6求下列函數(shù)的定義域:(1)已知的定義域為,求函數(shù)的定義域;(2)已知的定義域為,求函數(shù)以及函數(shù)的定義域;(3)已知函數(shù)的定義域為,求函數(shù)的定義域;(4)已知函數(shù)的定義域為,求的定義域.解:(1)(2)均為(3)(4)例7(1)已知,求,;(2)已知,求.解:(1)(2)例8求下列函數(shù)的值域:(1)(2)()(3)()(4)(5)(6)解:(1)(2