淺談有限元法

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1、南湖學(xué)院現(xiàn)代設(shè)計方法基礎(chǔ)題目：淺談有限元法系部：南湖學(xué)院機電系專業(yè)：機械設(shè)計制造及其自動化班級：N機自四班07-4F姓名：學(xué)號：2010年5月25日目錄目錄21.有限元法的概述32有限元法的發(fā)展33有限元法的分析34有限元法的基本步驟54.1單元劃分54.2確定插值函數(shù)（形函數(shù)）54.3建立單元方程64.4單元組集----建立總體方程組64.5計入邊界條件，解方程組65質(zhì)量矩陣76談?wù)剬τ邢拊膶W(xué)習86.3學(xué)習有限元還要有一定力學(xué)基礎(chǔ)91.有限元法的概述有限元單元法，簡稱有限元法，是伴隨著電子計算機技術(shù)的進步而發(fā)

2、展起來的一種新興數(shù)值分析方法，是力學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)與現(xiàn)代計算技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物。實際上，有限元法是一種對問題控制方程進行近似求解的數(shù)值分析求解法，在數(shù)學(xué)上對其適定性、收斂性等都有較嚴密的推理和證明。有限元法的基本思路是將結(jié)構(gòu)物看成由有限個劃分的單元組成的整體，以單元結(jié)點的位移或結(jié)點力作為基本未知量求解。由于單元能按不同的聯(lián)接方式進行組合，且單元本身又可以有不同的形狀，因此可以模型化幾何形狀復(fù)雜的求解區(qū)域。有限元法是一種高效能、常用的計算方法．有限元法在早期是以變分原理為基礎(chǔ)發(fā)展起來的，所以它廣泛地應(yīng)用于以拉普拉斯方程和

3、泊松方程所描述的各類物理場中（這類場與泛函的極值問題有著緊密的聯(lián)系）。自從1969年以來，某些學(xué)者在流體力學(xué)中應(yīng)用加權(quán)余數(shù)法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應(yīng)用于以任何微分方程所描述的各類物理場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯(lián)系．基本思想：由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問題。2有限元法的發(fā)展有限單元法最早可上溯到20世紀40年代。Courant第一次應(yīng)用定義在三角區(qū)域上的分片連續(xù)函數(shù)和最小位能原理來求解St.Venant扭轉(zhuǎn)問題?，F(xiàn)代有限單元法

4、的第一個成功的嘗試是在1956年，Turner、Clough等人在分析飛機結(jié)構(gòu)時，將鋼架位移法推廣應(yīng)用于彈性力學(xué)平面問題，給出了用三角形單元求得平面應(yīng)力問題的正確答案。1960年，Clough進一步處理了平面彈性問題，并第一次提出了"有限單元法"，使人們認識到它的功效。我國著名力學(xué)家，教育家徐芝綸院士（河海大學(xué)教授）首次將有限元法引入我國，對它的應(yīng)用起了很大的推動作用。3有限元法的分析目前工程中使用的偏微分方程的數(shù)值解法主要有三種：有限差分法、有限元法和邊界元法。有限差分法的出發(fā)點是用結(jié)點量的差商代表控制方程中的

5、導(dǎo)數(shù)。以矩形域二維無源穩(wěn)定傳熱問題為例:起控制方程為拉普拉斯方程，即無源場中各點的散度為零：(5-1)邊界條件為(5-2)式中，為區(qū)域內(nèi)任意點的溫度；n為區(qū)域邊界上任意點的外向法線；代表在上給定的溫度（例如左邊界，右邊界為）；代表邊界上給定的熱流密度。則式中的二階偏導(dǎo)數(shù)可用結(jié)點溫度的二階差商近似表達為(5-3)同理(5-4)代入得（5-5)式中，和在結(jié)點劃分完畢后是已知的。這樣，式（5-5）即為一個以和圍繞（i,j)結(jié)點的4個結(jié)點的u值為未知量的線性代數(shù)方程。若區(qū)域有m-n個結(jié)點個m個邊界結(jié)點，則可建立n-m個如

6、式（5-5）所示的線性代數(shù)方程，加上式（5-2）所示m個結(jié)點的邊界條件就可將所有結(jié)點的未知溫度u求出。有限差分法概念及方法比較簡單，但不適合于求解區(qū)域形狀復(fù)雜的問題。邊界元法是一種繼有限元法之后發(fā)展起來的一種新數(shù)值方法,與有限元法在連續(xù)體域內(nèi)劃分單元的基本思想不同,邊界元法是公在定義域的邊界上劃分單元,用滿足控制議程的函數(shù)去逼近邊界條件.所以邊界元法與有限元相比具有單元的未知數(shù)少,數(shù)據(jù)準備簡單等優(yōu)點.但用邊界元法解非線性問題時,遇到同非線性項相對應(yīng)的區(qū)域積分,這種積分在奇異點附近有強烈的奇異性,使求解遇到困難.以

7、上所述三種數(shù)值解法中，有限元法通用性最好，引用最廣，其基本思想是將問題的求解域劃分為一系列單元，單元之間僅靠結(jié)點聯(lián)接。單元內(nèi)部點的待求量可由單元結(jié)點量通過選定的函數(shù)關(guān)系插值求得。由于單元形狀簡單，易于由平衡關(guān)系或能量關(guān)系建立結(jié)點量之間的方程式。然后將各個單元方程“組集”在一起而形成總體代數(shù)方程組，計入邊界條件后即可對方程組求解，單元劃分越細，計算結(jié)果就越準確。4有限元法的基本步驟4.1單元劃分將求解域離散為有限單元。根據(jù)基本長變量與坐標的關(guān)系決定采用一維、二維、三維單元。一維元用線段表示；二維元可為三角形元貨四邊

8、形元；三維元常用四面體元或六面體元。單元劃分越密，計算精度越高，但計算工作量也越大。通常，在場變量變化劇烈處可將單元取密些，反之則取疏些。4.2確定插值函數(shù)（形函數(shù)）在有限元法中，單元內(nèi)任一點(x,y,z)的場變量需通過選定的插值形式由單元結(jié)點值插值求得，即式中，m為單元結(jié)點自由度總數(shù)；是單元自由度列陣，即；稱為單元的形函數(shù)矩陣，它與單元結(jié)點坐標結(jié)點數(shù)目及插值形式有關(guān)。形