劉興坤畢業(yè)論文

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1、陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文非周期函數(shù)的Fourier展開(kāi)方法及其應(yīng)用劉興坤(陜西理工學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)092班,陜西漢中723000)指導(dǎo)教師:王樹(shù)勛[摘要]主要討論如何將定義在[a,b]滿(mǎn)足Dirichlet條件的非周期函數(shù)展成的Fourier級(jí)數(shù).在不同的方法中加以利用.[關(guān)鍵詞]函數(shù);Fourier級(jí)數(shù);Dirichlet條件；延拓引言通過(guò)對(duì)周期函數(shù)的Fourier展開(kāi)的學(xué)習(xí),對(duì)周期函數(shù)的Fourier展開(kāi)進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)對(duì)于非周期函數(shù)并沒(méi)有展開(kāi)式,所以,運(yùn)用周期延拓,變換等手段給出在任意區(qū)間上的函數(shù)的Fourier展開(kāi)方法與公式.1引理若在整個(gè)數(shù)軸

2、上=且等式的右邊級(jí)數(shù)一致收斂，則有如下關(guān)系式：2定理1設(shè)的周期為,在區(qū)間上作變換,則所以定義在上的周期為的函數(shù).就有,代回變量,即第11頁(yè)共11頁(yè)陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文相應(yīng)的Fourier系數(shù)為==(n=0,1,2,…)，==，(n=1,2，…).例1將=展開(kāi)為Fourier級(jí)數(shù).解令，計(jì)算的Fourier系數(shù)：==對(duì)n=1,2,…，利用分部積分法======，于是得到的Fourier級(jí)數(shù)+.3定理13.1設(shè),,且滿(mǎn)足Dirichlet條件，則可以展成Fourier級(jí)數(shù)：其中為常數(shù)(n=0,1,2,…)，(n=1,2,…).當(dāng)為的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，該級(jí)數(shù)收斂于；當(dāng)為的間斷點(diǎn)時(shí)，

3、該級(jí)數(shù)收斂于;當(dāng)時(shí)，第11頁(yè)共11頁(yè)陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文該級(jí)數(shù)收斂于.證明作變換,則,當(dāng)時(shí),,且：其中:=====(n=0,1,2,…)，同理可得：=(n=1,2,…).由于當(dāng)為的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，==,故當(dāng)為的連續(xù)點(diǎn)時(shí)該級(jí)數(shù)收斂于;當(dāng)為的間斷點(diǎn)時(shí)，該級(jí)數(shù)收斂于;當(dāng)時(shí)，由于,,故此時(shí)該級(jí)數(shù)收斂于.3.1.1該定理把定義在上的非周期函數(shù)展成了Fourier級(jí)數(shù)，且給出了它的展開(kāi)公式。3.1.2公式中的為任何一個(gè)常數(shù)，當(dāng)取不同的值時(shí)，可以得到的無(wú)窮多個(gè)展開(kāi)式，從而說(shuō)明：定義在上的函數(shù)的Fourier展開(kāi)式不是唯一的。3.1.3特別的,取的一些特殊值,可得的一些常見(jiàn)的展開(kāi)式:第11

4、頁(yè)共11頁(yè)陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文令=得的Fourier展開(kāi)式為:其中:=(n=0,1,2,…)，=(n=1,2,…).令=得的Fourier展開(kāi)式為：其中:=(n=0,1,2,…)，=(n=1,2,…).令,得的Fourier展開(kāi)式為：其中:=(n=0,1,2,…)，=(n=1,2,…).④令=，得的Fourier展開(kāi)式為：其中:=(n=0,1,2,…)，=(n=1,2,…).3.1.4定理中的區(qū)間還可以為開(kāi)區(qū)間或半開(kāi)區(qū)間，也可以為無(wú)窮區(qū)間。當(dāng)區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間時(shí)要求在該區(qū)間上絕對(duì)可積。第11頁(yè)共11頁(yè)陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文4定理24.1設(shè)非周期函數(shù)在上有定義，則函數(shù)=，，k

5、=0…稱(chēng)為非周期函數(shù)的周期延拓，延拓后的函數(shù)在上是周期為2π的周期函數(shù)，并且在上有=端點(diǎn)處收斂例2將函數(shù)展開(kāi)為Fourier級(jí)數(shù).解所給函數(shù)滿(mǎn)足Dirichlet條件.拓展周期的函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式在收斂于.========(n=1,2，…)第11頁(yè)共11頁(yè)陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文所求Fourier級(jí)數(shù)為:推廣:利用Fourier展開(kāi)式求出幾個(gè)特殊級(jí)數(shù)的和因?yàn)楫?dāng)時(shí)，4.2非周期函數(shù)的奇偶延拓設(shè)定義在上,延拓為為周期的函數(shù)令且,則有如下兩種情況.4.2.1奇延拓則的Fourier正弦級(jí)數(shù)第11頁(yè)共11頁(yè)陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文4.2.2偶延拓則的Fourier余弦級(jí)數(shù)

6、例3將函數(shù)分別展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù).解(1)求正弦級(jí)數(shù).對(duì)進(jìn)行奇延拓,===(0

7、在上展成正弦或余弦級(jí)數(shù)將代入展開(kāi)式在上的正弦或余弦級(jí)數(shù)例5將函數(shù)展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù).解作變量代換，=補(bǔ)充函數(shù)的定義，令然后將作周期延拓其拓展的周期函數(shù)滿(mǎn)足收斂定理的條件，且展開(kāi)式在內(nèi)收斂于.第11頁(yè)共11頁(yè)陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文所以一般的，奇延拓的收斂域不包括端點(diǎn)，偶延拓的收斂域包括端點(diǎn)參考文獻(xiàn)[1]陳紀(jì)修、于崇華、金路《數(shù)學(xué)分析》下冊(cè)，[M]北京:高等教育出版社;[2]沈滿(mǎn)昌《數(shù)學(xué)分析》[M]北京:高等教育出版社;[3]高尚華《數(shù)學(xué)分析》[M](第三版).北京:高等教育出版社;[4]王樹(shù)勛《非周期函數(shù)展成Fourier級(jí)數(shù)的方法》[J]陜西:陜