《劉興坤畢業(yè)論》word版

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1、陜西理工學院畢業(yè)論文非周期函數(shù)的Fourier展開方法及其應(yīng)用劉興坤(陜西理工學院數(shù)學與計算機科學學院數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學092班,陜西漢中723000)指導教師:王樹勛[摘要]主要討論如何將定義在[a,b]滿足Dirichlet條件的非周期函數(shù)展成的Fourier級數(shù).在不同的方法中加以利用.[關(guān)鍵詞]函數(shù);Fourier級數(shù);Dirichlet條件；延拓引言通過對周期函數(shù)的Fourier展開的學習,對周期函數(shù)的Fourier展開進行研究,發(fā)現(xiàn)對于非周期函數(shù)并沒有展開式,所以,運用周期延拓,變換等手段給出在任意區(qū)間上的函數(shù)的Fourier展開方法與公式.1引理若在整個數(shù)

2、軸上=且等式的右邊級數(shù)一致收斂，則有如下關(guān)系式：2定理1設(shè)的周期為,在區(qū)間上作變換,則所以定義在上的周期為的函數(shù).就有,代回變量,即第11頁共11頁陜西理工學院畢業(yè)論文相應(yīng)的Fourier系數(shù)為==(n=0,1,2,…)，==，(n=1,2，…).例1將=展開為Fourier級數(shù).解令，計算的Fourier系數(shù)：==對n=1,2,…，利用分部積分法======，于是得到的Fourier級數(shù)+.3定理13.1設(shè),,且滿足Dirichlet條件，則可以展成Fourier級數(shù)：其中為常數(shù)(n=0,1,2,…)，(n=1,2,…).當為的連續(xù)點時，該級數(shù)收斂于；當為的間斷點

3、時，該級數(shù)收斂于;當時，第11頁共11頁陜西理工學院畢業(yè)論文該級數(shù)收斂于.證明作變換,則,當時,,且：其中:=====(n=0,1,2,…)，同理可得：=(n=1,2,…).由于當為的連續(xù)點時，==,故當為的連續(xù)點時該級數(shù)收斂于;當為的間斷點時，該級數(shù)收斂于;當時，由于,,故此時該級數(shù)收斂于.3.1.1該定理把定義在上的非周期函數(shù)展成了Fourier級數(shù)，且給出了它的展開公式。3.1.2公式中的為任何一個常數(shù)，當取不同的值時，可以得到的無窮多個展開式，從而說明：定義在上的函數(shù)的Fourier展開式不是唯一的。3.1.3特別的,取的一些特殊值,可得的一些常見的展開式:

4、第11頁共11頁陜西理工學院畢業(yè)論文令=得的Fourier展開式為:其中:=(n=0,1,2,…)，=(n=1,2,…).令=得的Fourier展開式為：其中:=(n=0,1,2,…)，=(n=1,2,…).令,得的Fourier展開式為：其中:=(n=0,1,2,…)，=(n=1,2,…).④令=，得的Fourier展開式為：其中:=(n=0,1,2,…)，=(n=1,2,…).3.1.4定理中的區(qū)間還可以為開區(qū)間或半開區(qū)間，也可以為無窮區(qū)間。當區(qū)間為無窮區(qū)間時要求在該區(qū)間上絕對可積。第11頁共11頁陜西理工學院畢業(yè)論文4定理24.1設(shè)非周期函數(shù)在上有定義，則函數(shù)

5、=，，k=0…稱為非周期函數(shù)的周期延拓，延拓后的函數(shù)在上是周期為2π的周期函數(shù)，并且在上有=端點處收斂例2將函數(shù)展開為Fourier級數(shù).解所給函數(shù)滿足Dirichlet條件.拓展周期的函數(shù)的Fourier級數(shù)展開式在收斂于.========(n=1,2，…)第11頁共11頁陜西理工學院畢業(yè)論文所求Fourier級數(shù)為:推廣:利用Fourier展開式求出幾個特殊級數(shù)的和因為當時，4.2非周期函數(shù)的奇偶延拓設(shè)定義在上,延拓為為周期的函數(shù)令且,則有如下兩種情況.4.2.1奇延拓則的Fourier正弦級數(shù)第11頁共11頁陜西理工學院畢業(yè)論文4.2.2偶延拓則的Fourie

6、r余弦級數(shù)例3將函數(shù)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù).解(1)求正弦級數(shù).對進行奇延拓,===(0

7、偶式周期延拓在上展成正弦或余弦級數(shù)將代入展開式在上的正弦或余弦級數(shù)例5將函數(shù)展開成Fourier級數(shù).解作變量代換，=補充函數(shù)的定義，令然后將作周期延拓其拓展的周期函數(shù)滿足收斂定理的條件，且展開式在內(nèi)收斂于.第11頁共11頁陜西理工學院畢業(yè)論文所以一般的，奇延拓的收斂域不包括端點，偶延拓的收斂域包括端點參考文獻[1]陳紀修、于崇華、金路《數(shù)學分析》下冊，[M]北京:高等教育出版社;[2]沈滿昌《數(shù)學分析》[M]北京:高等教育出版社;[3]高尚華《數(shù)學分析》[M](第三版).北京:高等教育出版社;[4]王樹勛《非周期函數(shù)展成Fourier級數(shù)的方法》[J]陜西:陜