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《數(shù)值分析--第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分1數(shù)值積分的基本概念實際問題當中常常需要計算定積分。在微積分中，我們熟知，牛頓—萊布尼茲公式是計算定積分的一種有效工具，在理論和實際計算上有很大作用。對定積分，若在區(qū)間上連續(xù)，且的原函數(shù)為，則可計算定積分似乎問題已經(jīng)解決，其實不然。如1）是由測量或數(shù)值計算給出數(shù)據(jù)表時，Newton-Leibnitz公式無法應(yīng)用。2）許多形式上很簡單的函數(shù)，例如等等，它們的原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示。3）即使有些被積函數(shù)的原函數(shù)能通過初等函數(shù)的有限形式表示，但應(yīng)用牛頓—萊布尼茲公式計算，仍涉及大量的數(shù)值計算，還不如
2、應(yīng)用數(shù)值積分的方法來得方便，既節(jié)省工作量，又滿足精度的要求。例如下列積分對于上述這些情況，都要求建立定積分的近似計算方法——數(shù)值積分法。1.1數(shù)值求積分的基本思想根據(jù)以上所述，數(shù)值求積公式應(yīng)該避免用原函數(shù)表示，而由被積函數(shù)的值決定。由積分中值定理：對，存在，有表明，定積分所表示的曲邊梯形的面積等于底為而高為的矩形面積（圖4-1）。問題在于點的具體位置一般是不知道的，因而難以準確算出。我們將稱為區(qū)間上的平均高度。這樣，只要對平均高度提供一種算法，相應(yīng)地便獲得一種數(shù)值求積分方法。如果我們用兩端的算術(shù)平均作為平均高度的近似值，這樣導(dǎo)出
3、的求積公式(4-1)便是我們所熟悉的梯形公式（圖4-2）。而如果改用區(qū)間中點的“高度”近似地取代平均高度，則可導(dǎo)出所謂中矩形公式（簡稱矩形公式）(4-2)16更一般地，我們可以在區(qū)間上適當選取某些節(jié)點，然后用加權(quán)平均得到平均高度的近似值，這樣構(gòu)造出的求積公式具有下列形式：圖4-1圖4-2(4-3)式中稱為求積節(jié)點；成為求積系數(shù)，亦稱伴隨節(jié)點的權(quán)。權(quán)僅僅與節(jié)點的選取有關(guān)，而不依賴于被積函數(shù)的具體形式。這類由積分區(qū)間上的某些點上處的函數(shù)值的線性組合作為定積分的近似值的求積公式通常稱為機械求積公式，它避免了Newton-Leibnit
4、z公式尋求原函數(shù)的困難。對于求積公式(4-3)，關(guān)鍵在于確定節(jié)點和相應(yīng)的系數(shù)。1.2代數(shù)精度的概念由Weierstrass定理可知，對閉區(qū)間上任意的連續(xù)函數(shù)，都可用多項式一致逼近。一般說來，多項式的次數(shù)越高，逼近程度越好。這樣，如果求積公式對階多項式精確成立，那么求積公式的誤差僅來源于階多項式對連續(xù)函數(shù)的逼近誤差。因此自然有如下的定義定義4.1如果某個求積公式對于次數(shù)不超過的多項式均準確地成立，但對于次多項式就不準確成立，則稱該求積公式具有次代數(shù)精度。例1判斷求積公式的代數(shù)精度。解記因為16所以求積公式具有5次代數(shù)精度。1.3插
5、值型的求積公式最直接自然的一種想法是用在上的插值多項式代替，由于代數(shù)多項式的原函數(shù)是容易求出的，我們以在上的積分值作為所求積分的近似值，即這樣得到的求積分公式稱為插值型求積公式。通常采用Lagrange插值。設(shè)上有個互異節(jié)點，的次Lagrange插值多項式為其中，插值型求積公式為(4-4)其中?？煽闯?，僅由積分區(qū)間與插值節(jié)點確定，與被積函數(shù)的形式無關(guān)。求積公式(4-4)的截斷誤差為(4-5)定義4.2求積公式如其系數(shù)，則稱此求積公式為插值型求積公式。定理4.1形如(4-3)的求積公式至少有次代數(shù)精度的充分必要條件是插值型的。證明
6、如果求積公式(4-3)是插值型的，由公式(4-5)可知，對于次數(shù)不超過的多項式，其余項等于零，因而這時求積公式至少具有次代數(shù)精度。反之，如果求積公式(4-3)至少具有次代數(shù)精度，那么對于插值基函數(shù)應(yīng)準確成立，并注意到，即有16所以求積公式(4-3)是插值型的。1.4求積公式的收斂性與穩(wěn)定性定義4.3在求積公式(4-3)中，若其中，則稱求積公式(4-3)是收斂的。實際使用任何求積公式時，除截斷誤差外，還有舍入誤差，因此我們必須研究其數(shù)值穩(wěn)定性。在求積公式(4-3)中，由于計算可能產(chǎn)生誤差，實際得到，即，記如果對任給正數(shù)，只要誤差充
7、分小就有(4-6)它表明求積公式(4-3)計算是穩(wěn)定的，由此給出：定義4.4對任給，若存在，只要就有(4-6)成立，則稱求積公式(4-3)是穩(wěn)定的。定理4.2若求積公式(4-3)中系數(shù)，則此求積公式是穩(wěn)定的；若有正有負，計算可能不穩(wěn)定。證明對任給，若取，對都有，則有注意對任何代數(shù)精度的求積公式均有可見時，有由定義4.4可知求積公式(4-3)是穩(wěn)定的。若有正有負時，假設(shè)，且，有16它表明初始數(shù)據(jù)的誤差可能會引起計算結(jié)果誤差的增大，即計算可能不穩(wěn)定。2Newton-Cotes公式2.1Cotes系數(shù)被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)變化平緩，可用
8、等距節(jié)點插值公式近似。將積分區(qū)間劃分為等分，步長，等距節(jié)點。此時求積公式(4-4)中的積分系數(shù)可得到簡化作變換，則有令則，求積公式(4-4)可簡化為(4-7)稱為階Newton-Cotes公式，簡記為N-C公式，稱為Cotes系數(shù)。由的表達式可看出，它不但與被積
