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《數(shù)值分析 - 第4章 數(shù)值積分與數(shù)值微分new》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、4.3習(xí)題課例3：給出下列數(shù)據(jù)，計(jì)算，1.2ln(1x2)dx，計(jì)算過(guò)程保留4位小數(shù)。例1：取m=4，即n=8，用復(fù)合拋物線求積公式計(jì)算積分ò+0－0.020.040.060.80.102解n=8，h=(12-0)/8=0.15，f(x)=ln(1+x)，計(jì)算列表5.065.075.0655.055.0552f(xk)=ln(1+xk)kxk端點(diǎn)奇數(shù)號(hào)偶數(shù)號(hào)00.000解：（5.07－5.06）/（0.04－0.02）=0.510.150.022320.300.086230.450.1844（5.05－5.07）/（0.08－0.04）=－0.540.60
2、0.307550.750.446360.900.5933（5.05－5.055）/（0.08－0.10）=0.2571.050.743181.200.8920（(0.10)－(0.06)）/（0.10－0.06）=18.751.39610.98700.8920?代入復(fù)合拋物線求積公式例4：在計(jì)算數(shù)值導(dǎo)數(shù)時(shí)，它的誤差由截?cái)嗾`差和舍入差兩部分組成。用差商或插值公式近似導(dǎo)數(shù)1.2h2產(chǎn)生截?cái)嗾`差，由原始值的數(shù)值近似產(chǎn)生舍入誤差。在差商計(jì)算中，從截?cái)嗾`差的逼近值的角度看，ln(1+x)dx=[f+f+4(f+f+f+f)+2(f+f+f)]ò08135724603
3、0.15=[0.8920+4′1.3961+2′0.987=0.4225越小，則誤差也越??；但是太小的會(huì)帶來(lái)較大的舍入誤差。怎樣選擇最佳步長(zhǎng)，使截?cái)嗾`差與舍3入誤差之和最小呢？n2n1d(x-1)一般對(duì)計(jì)算導(dǎo)數(shù)的近似公式進(jìn)行分析可得到誤差的表示式，以中心差商為例，截?cái)嗾`差不超過(guò)例2：已知勒讓德多項(xiàng)式P(x)=，證明兩點(diǎn)(n=2)的高斯－勒讓德求積公式為n2nn!dxn111òf(x)dx?f(-)+f()-1332221d(x-1)12證明：當(dāng)n=2時(shí)，勒讓德多項(xiàng)式為P(x)==(3x-1)2222!dx22而舍入誤差可用量估計(jì)（證明略），其中是函數(shù)的原始
4、值的絕對(duì)誤差限，總誤差為1令P(x)=0，得兩個(gè)高斯點(diǎn)x=±，20,13111構(gòu)造求積公式f(x)dx?Af(-)+Af()ò-10133由代數(shù)精度的定義，上式對(duì)f(x)=1,x精確成立，有ìA0+A1=2當(dāng)時(shí)，總誤差達(dá)到最小值，即?í11A(-)+A()=0?01?33111（*）解得A0=A1=1，得到求積公式ò-f(x)dx?f(-)+f()133可以看到用誤差的表達(dá)式確定步長(zhǎng)，難度較大，難以實(shí)際操作。12當(dāng)時(shí)，通常用事后估計(jì)方法選取步長(zhǎng)，例如，記為步長(zhǎng)等于的差商計(jì)算公式，給定誤差界，當(dāng)時(shí)，就是合適的步長(zhǎng)。（7.5）誤差項(xiàng)為：（1）對(duì)函數(shù)，取不同的步
5、長(zhǎng)計(jì)算，觀察誤差變化規(guī)律，從而確定最佳步長(zhǎng)。解：誤差誤差0.103.1630－0.00480.053.1590－0.00080.093.1622－0.00400.043.1588－0.0006(2)給定，并有，計(jì)算。0.083.1613－0.00310.033.1583－0.00010.073.1607－0.00250.023.1575－0.0007解：作過(guò)的插值多項(xiàng)式：0.063.1600－0.00180.013.1550－0.0032表中數(shù)據(jù)顯示，當(dāng)步長(zhǎng)從0.10減少到0.03時(shí)，數(shù)值微分誤差的絕對(duì)值從0.0048減少到0.0001，而隨著的進(jìn)一步減少
6、，誤差的絕對(duì)值又有所反彈，表明當(dāng)步長(zhǎng)小于0.03時(shí)，舍入誤差起了主要作用。在實(shí)際計(jì)算中是無(wú)法得到誤差的準(zhǔn)確數(shù)值的，這時(shí)以最小為標(biāo)準(zhǔn)確定步長(zhǎng)，本例中取=0.04。對(duì)于給定的的函數(shù)表，建立插值函數(shù)，用插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)近似函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。設(shè)為上的節(jié)點(diǎn)，給定，以為插值點(diǎn)構(gòu)造插值多項(xiàng)式，以的各階導(dǎo)數(shù)近似的相應(yīng)階的導(dǎo)數(shù)，即將代入得三點(diǎn)端點(diǎn)公式和三點(diǎn)中點(diǎn)公式：344T-TS=42?44-10.69325,2利用泰勒（Taylor）展開進(jìn)行比較和分析，可得三點(diǎn)公式的截?cái)嗾`差是。4S4-S2C4=2?0.69317.4-1類似地，可得到五點(diǎn)中點(diǎn)公式和五點(diǎn)端點(diǎn)公式：（1）將[1,2
7、]8等分1??9??11??13??15??H8=??f?÷+f?÷+f?÷+f?÷÷÷?0.69122,2èè8?è8?è8?è8??1()T8=T4+H8?0.69412,24T-TS=848?0.69315,4-124S8-S4C=?0.69315,3842-14C-CR=84?0.69315.834-1由于C-R=0.00002<0.0001.故計(jì)算可以停止。所得積分近似值為484.4習(xí)題、解答或提示0.69315。1.解（1）在區(qū)間[1,2]上用梯形公式得2.解令f(x)=1，有hh13ò1dx=[1+1]+0,即h=h02T1=(f(1)+f(
8、)2)==0.75000.24令f(x)=x時(shí)，有22（2）將[1
