3、94第6章數(shù)值積分與數(shù)值微分當(dāng)時，可得到6.1.2插值型求積公式的余項2021/9/95第6章數(shù)值積分與數(shù)值微分6.1.3求積公式的的代數(shù)精度定義6-1若求積公式對于任意次數(shù)≤m次的多項式均能準確地成立，但對于m+1次多項式不能準確成立，則稱該求積公式的代數(shù)精度為m．對于代數(shù)精度為m的求積公式，若f(x)是不超過m次的代數(shù)多項式，則求積公式是精確成立的．確定代數(shù)精度的方法一般地，欲使求積公式具有m次代數(shù)精度，只要令它對于f(x)=1，x，…，xm都能準確成立，而對于xm+1不成立。2021/9/96第6章數(shù)值積分與數(shù)
4、值微分解逐次檢查公式是否精確成立取f(x)=1：=取f(x)=x：?∴此求積公式的代數(shù)精度為0例6-1,求其代數(shù)精度。定理6-1對任給的n+1個互異的求積節(jié)點x0,x1,…,xn,一個機械求積公式的代數(shù)精度有n次?該公式為插值型求積公式。插值型求積公式是代數(shù)精度最高的求積公式2021/9/97第6章數(shù)值積分與數(shù)值微分解:3h=A0+A1+A2h2=0+A1h+A22h9h3=0+A1h2+A24h229故求積公式的形式為解之得A0=h,A1=0,A2=h.9434?f(x)dx?f(0)+f(2h)3h49h43h0
5、由公式的構(gòu)造知,公式至少具有2次代數(shù)精度;當(dāng)f(x)=x3時,公式的左邊=h4,右邊=18h4,公式的左邊?右邊,說明此公式對f(x)=x3不能準確成立.因此,公式只具有2次代數(shù)精度.814例2試構(gòu)造形如?f(x)dx?A0f(0)+A1f(h)+A2f(2h)的數(shù)值求積公式,使其代數(shù)精度盡可能高,并指出其代數(shù)精度的階數(shù).3h0求積公式有A0,A1,A2三個未知數(shù),令公式對f(x)=1,x,x2均準確成立,則有2021/9/98第6章數(shù)值積分與數(shù)值微分例3給定形如的求積公式，試確定系數(shù)，使公式具有盡可能高的代數(shù)精度.
6、解當(dāng)時，得當(dāng)時，得令分別代入求積公式使它精確成立當(dāng)時，得解得,于是得當(dāng)時，而上式右端為，故公式對不精確成立，其代數(shù)精度為2.解:2021/9/99第6章數(shù)值積分與數(shù)值微分2021/9/910第6章數(shù)值積分與數(shù)值微分HW:P1036.1（2）6.2（3）2021/9/911第6章數(shù)值積分與數(shù)值微分6.2三個常用的求積公式及其誤差?當(dāng)節(jié)點等距分布時：令Cotes系數(shù)注：Cotes系數(shù)僅取決于n和i，可查表得到。與f(x)及區(qū)間[a,b]均無關(guān)。Newton-Cotes公式這時求積公式Newton-Cotes公式2021/
7、9/912第6章數(shù)值積分與數(shù)值微分6.2.1梯形公式f(a)f(b)曲邊梯形的面積f(x)ab其中梯形公式的代數(shù)精度為1；梯形公式的余項用梯形面積近似2021/9/913第6章數(shù)值積分與數(shù)值微分用拋物形面積近似6.2.2Simpson（辛普森）公式將區(qū)間[a,b]二等分，取端點a，b和中點(a+b)/2為節(jié)點Simpson公式的代數(shù)精度為3；Simpson公式的余項2021/9/914第6章數(shù)值積分與數(shù)值微分6.2.3Cotes（柯特斯）公式取區(qū)間[a,b]的4等分點為節(jié)點Cotes公式的代數(shù)精度為5；Cotes公式
8、的余項2021/9/915第6章數(shù)值積分與數(shù)值微分取區(qū)間[a,b]的3等分點為節(jié)點，Simpson’s3/8-公式的代數(shù)精度為3；Simpson’s3/8-公式的余項n階Newton-Cotes公式的代數(shù)精度至少為n次。n為偶數(shù)階的Newton-Cotes公式至少有n+1次代數(shù)精度。2021/9/916第6章數(shù)值積分與數(shù)值微分例6-2分別利用梯
