實驗隨機信號的功率譜估計方法

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1、隨機信號的功率譜估計方法一、實驗目的1、利用自相關函數(shù)法和周期圖法實現(xiàn)對隨機信號的功率譜估計2、觀察數(shù)據(jù)長度、自相關序列長度、信噪比、窗函數(shù)、平均次數(shù)等譜估計的分辨率、穩(wěn)定性、主瓣寬度和旁瓣效應的影響。3、學習使用FFT提高譜估計的運算速度。4、體會非參數(shù)化功率譜估計方法的優(yōu)缺點。二、實驗原理假設信號x(n)為平穩(wěn)隨機過程，其自相關函數(shù)定義為?m?E{x*(n)x(n+m)}(3-1)其中E表示取數(shù)學期望，*表示共軛運算。根據(jù)定義，x(n)的功率譜密度與自相關序列存在下面關系：(3-2)(3-3)但是，實際中我們很難得到準確的自相關序列

2、，只能通過隨機信號的一段樣本序列來估計信號的自相關序列，進而得到信號的功率譜估計。目前，常用的線性譜估計方法有兩種，即相關函數(shù)法和周期圖方法，本實驗對這兩種方法分別予以討論。1．自相關函數(shù)法假設我們已知隨機信號x(n)的M長的自相關序列{}，利用自相關函數(shù)法可以得到x(n)的功率譜估計：(3-4)利用窗函數(shù)，上式又可表達為(3-5)其中，為矩形窗函數(shù)，定義為(3-6)因此，實際上是真正功率譜與窗函數(shù)傅立葉變換的卷積。矩形窗函數(shù)不僅降低了譜估計的分辨率，而且使譜估計產(chǎn)生了旁瓣。為了降低旁瓣影響，可以采用具有較小旁瓣的窗函數(shù)，如Hammin

3、g窗，它定義為(3-7)這種窗函數(shù)可以有效的抑制旁瓣，但是，此時主瓣寬度增大，從而降低了譜估計的分辨率，這種主瓣和旁瓣之間的矛盾在線性譜估計方法中是無法解決的。2．周期圖方法假設已知隨機信號的N個樣本，利用周期圖方法，信號x(n)的功率譜估計為(3-8)利用上述方法得到的譜估計方差與信號的功率譜平方成正比，為了減小它的方差，可以將信號序列進行分段處理，然后再求各分段結果的平均，這就是平均周期圖方法，即Bartlett方法。（1）Bartlett平均周期圖方法將一個隨機序列(0≤n≤N）分成K段，每段長度為L，各段之間互不重迭，因而N=K

4、L，可以想到，第i段的信號序列可表示為(3-9)對于每一段的周期圖又可寫成,(3-10)于是，功率譜估計定義為(3-11)因此，對于固定的記錄長度來講，分段數(shù)K增大可使譜估計的方差減小，但是由于L的減小，相應的功率譜主瓣增寬，譜分辨率降低，顯然，方差和分辨率也是矛盾的。除了分辨率降低以外，分段處理還會引起序列的長度有限所帶來的旁瓣效應。為減小這種影響，最有效的辦法是給分段序列用適當?shù)拇昂瘮?shù)加權，可以得到較平滑的譜估計，當然，相應的分辨率也有所下降。（2）平滑平均周期圖方法這時一種改進的Bartlett周期圖方法，它特別適用于FFT直接計

5、算功率譜估值。將長度為N的平穩(wěn)隨機信號序列x(n)分成K段，每段長度為L，即L=N/K。但這里在計算周期圖之前，先用窗函數(shù)給每段序列加權，K個修正的周期圖定義為,(3-12)其中U表示窗函數(shù)序列的能量，(3-13)在這種情況下，功率譜估計可按下面表達式給出：(3-14)本實驗主要是利用自相關函數(shù)法和周期圖方法對下面受噪聲干擾擾的正弦信號進行譜估計：(3-15)其中NS為正弦個數(shù)，ωi,φi和ai分別為第i個正弦信號的數(shù)字頻率、相位和幅度，φi隨機的分布在（0,2π）之間，w(n)為零均值方差等于σw2的復高斯白噪聲。三、實驗內(nèi)容和步驟1

6、．仔細閱讀有關線性譜估計的內(nèi)容，根據(jù)給出的框圖3-1編制自相關函數(shù)法譜估計的程序。運行程序，輸入N=100,M=10,ω1=0.6π,φ1=0,a1=1,σw2=0選擇矩形窗。觀察譜峰位置是否正確（注意：由于窗效應可能引起譜估計的非正定）。如下圖所示，圖（1）由上圖（1）的仿真結果看出，譜峰的位置處于0.6π處，故估計較精確。開始輸入?yún)?shù)：數(shù)據(jù)長度N，自相關函數(shù)個數(shù)M，平均次數(shù)K信號產(chǎn)生：輸入正弦個數(shù)Ns，每個正弦信號的數(shù)字頻率、相位和幅度，白噪聲信號的方差σw2，按照公式（3.16）產(chǎn)生復正弦加白噪聲信號的N個采樣結束自相關函數(shù)法由N

7、個x(n)估計出自相關序列(M長),并對此自相關序列加矩形窗或Hamming窗，利用公式(3.5)計算[0，2π）之間的128個功率譜抽樣點周期圖方法輸入FFT點數(shù)，按照公式(3.11)、(3.12)和(3.13)計算NF點功率譜圖3-12．觀察并記錄參數(shù)變化對譜估計性能的影響。（1）改變M=5，其它輸入同步驟1，觀察功率譜估計的主瓣寬度和旁瓣大小隨自相關序列長度的變化情況。圖（2）上圖（2）為M=5是，矩形窗函數(shù)的功率譜估計的仿真圖。比較M=5與M=10時的圖形可以看出：M越小，主瓣寬度越大，分辨率越低，譜峰高度越低低。（2）選擇窗函

8、數(shù)為Hamming窗，其它輸入同步驟1，觀察不同的窗函數(shù)對譜估計性能的影響。圖（3）比較圖（1）圖（3）可以看出，圖（3）的主瓣寬度增加了近一倍，旁瓣相應也減少了許多，同時發(fā)現(xiàn)Hamming窗的分辨率降低了