“算經(jīng)十書”的數(shù)學(xué)思想分析

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1、“算經(jīng)十書”的數(shù)學(xué)思想分析在世界科學(xué)史中，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)是一顆燦爛的明珠?！八憬?jīng)十書”是典型的代表。所謂“算經(jīng)十書”，指的是：《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《孫子算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《海島算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《綴術(shù)》（元豐年間已失傳，后來以《數(shù)術(shù)記遺》代之）、《緝古算經(jīng)》。中國數(shù)學(xué)也因它而形成自身的傳統(tǒng)并將此傳統(tǒng)繼承和發(fā)揚(yáng)?！八憬?jīng)十書”就其內(nèi)容來說，屬于初等數(shù)學(xué)；就其數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法來說，則是十分高深的。下面，我們分析其數(shù)學(xué)思想。1.探索和追求精益求精的計算方法和技巧就

2、數(shù)學(xué)內(nèi)容而言，“算經(jīng)十書”以善于計算而見長，并且這一長足的發(fā)展還被推進(jìn)到讓世界其他各國都望塵莫及的地步，這已是中外中算史家的共識?！八憬?jīng)十書”能如此輝煌耀目，是跟它著力探索和追求精益求精的計算方法和技巧分不開的?！八憬?jīng)十書”中最早的一種《周髀算經(jīng)》，其第一章敘述了西周開國時期（約公元前1100年）周公與商高的一段問答。從這段問答中，我們可以見到我國早期數(shù)學(xué)思想的一些初步端倪。當(dāng)周公問商高“夫天不可階而升，地不可得尺寸而度。請問數(shù)安從出？”時，商高答道：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩。矩出于九九八十

3、一。”接著，商高還說：“故折矩以為句廣三，股脩四，徑隅五。既方其外，半之一矩，環(huán)而共盤，得三、四、五。兩矩共長二十有五,是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所由生也。”這里，我們可以清新地見到，我們祖先在早期“定天下”、“治天下”時，已經(jīng)看到了數(shù)學(xué)的重要性（如大禹、周公）；而掌握到一些數(shù)學(xué)知識的人（如高商），是注意數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的。比如，我們從上述商高答問中，就可以看到，古人理解“數(shù)之所由生”，是將形與量結(jié)合起來考察的。圓和方都是形，而形是有數(shù)量關(guān)系的，從考察形可以探討到“數(shù)之法”，但這形中又包含著

4、豐富的數(shù)量關(guān)系，特別是平方關(guān)系（九九八十一）。數(shù)之法是從圓形和方形開始的。圓是內(nèi)接正多邊形經(jīng)過無數(shù)次的倍邊之后所得到的正多邊形的極限（我國最早的極限思想，是不是來自于這種“圓出于方”的觀念，希望讀者引起注意）。矩是木匠用的曲尺，形如L，方中的直角，非矩不能作，所以說方出于矩。矩形的面積又不外于二數(shù)相乘，也就是說，要算出來。我國古代算法好憑口訣，而乘法口訣是從“九九八十一”起的，古人用“九九”作為乘法口訣的簡稱，故有“矩出于九九八十一”。這里所包含的用數(shù)的性質(zhì)來研究形的性質(zhì)的思想，與古希臘的數(shù)學(xué)思想旨趣相

5、映。古希臘的畢達(dá)哥拉斯定理：a2+b2=c2。而當(dāng)a=b=1時，則c=，這既不是自然數(shù)，也不是自然數(shù)之比，所以不能是可接受的正常的數(shù)，被稱為無理數(shù)，導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，從此古希臘數(shù)學(xué)發(fā)展的方向產(chǎn)生了大改變，“幾何化”占了主導(dǎo)地位。[1]商高提出了著名的“句三股四弦五”這個勾股定理（也稱勾股弦定理、商高定理），是從“折矩”而來然后得“積矩”的，3，4，5及其平方的關(guān)系可以體現(xiàn)出勾股定理，但中國并沒有由此而產(chǎn)生數(shù)學(xué)危機(jī)，也沒有發(fā)生發(fā)展方向的大改變，反而為“幾何代數(shù)化”[2]這個中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展主導(dǎo)方向奠定

6、了很好的基礎(chǔ)。中國早期講究以算的方法去解決實際數(shù)學(xué)問題，是“數(shù)之所由生”的重要思想。在古代，不管是西方國家或中國，數(shù)學(xué)的發(fā)展都跟勾股定理結(jié)下不解之緣，這不是偶然的歷史巧合，而是不同淵源和發(fā)展脈絡(luò)的科學(xué)認(rèn)識的一種必然交匯，其原因是由人們的實踐活動決定的。作為人類早期的數(shù)學(xué)研究活動，很自然地會碰到考察形的性質(zhì)及數(shù)量關(guān)系，直角三角形成為關(guān)注的對象是在情理之中。正如趙爽所說的，早期先人們（如大禹）能掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)知識是“乃勾股之所由生也”。但不同民族的不同思維方式會導(dǎo)致數(shù)學(xué)發(fā)展的不同朝向，至少在初等數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)是

7、存在的。古希臘在數(shù)、形簡單和諧的觀念被打破之后發(fā)生大轉(zhuǎn)向，從重算發(fā)展到重證，發(fā)展到重視幾何證明，往后的趨勢就是有了這種發(fā)展趨勢和成果的集大成標(biāo)志——?dú)W氏幾何的產(chǎn)生，它是西方國家初等數(shù)學(xué)體系確立的標(biāo)志，而中國此時并不發(fā)生方向的大改變，而是沿著算的道路繼續(xù)前進(jìn)，往廣度和深度上延伸發(fā)展，導(dǎo)致的是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系的形成——《九章算術(shù)》的出現(xiàn)?！毒耪滤阈g(shù)》中有許多具有世界意義的成就，如負(fù)數(shù)計算、分?jǐn)?shù)計算、聯(lián)立一次方程解法等，正是沿著探索計算的方法和技巧前進(jìn)的結(jié)果?？少F的是，我們的祖先在此數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)之下，并不以

8、原有的結(jié)果為滿足，沒有停留在原有的水平上裹足不進(jìn)，而是精益求精地深入下去。如《九章算術(shù)》246道題，有解題方法202“術(shù)”，在當(dāng)時有如此輝煌成績已難能可貴，但三國魏晉時期的劉徽，就在《九章算術(shù)》的基礎(chǔ)上，仔細(xì)作注，不但為《九章》提供了系統(tǒng)的理論依據(jù)，而且大力向前推進(jìn)，提出了許多創(chuàng)見，將探討和講究精益求精的計算方法和技巧這種數(shù)學(xué)思想，提到一個更高的水平，并對后世的發(fā)展帶來了深刻的實際影響，如他發(fā)現(xiàn)的割圓術(shù)，為后來祖沖之求得更精確的π值奠定了基