空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

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1、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用【例1】已知三棱錐P-ABC中,PA⊥面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N為AB上一點(diǎn),AB=4AN，M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).(Ⅰ)證明:CM⊥SN;(Ⅱ)求SN與平面CMN所成角的大小.證明：設(shè)PA=1,以A為原點(diǎn),射線AB,AC,AP分別為x,y,z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖.則P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,),N(,0,0),S(1,,0)(Ⅰ),因?yàn)?所以CM⊥SN(Ⅱ),設(shè)a=(x,y,z)為平面CMN的一個(gè)法向量,則因?yàn)樗許N與片面CMN

2、所成角為45°【例2】、如圖,四棱錐S—ABCD中,底面ABCD,AB//DC,,DC=SD=2,E為棱SB上的一點(diǎn),平面EDC平面SBC. (Ⅰ)證明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角A—DE—C的大小.【解析】：以D為坐標(biāo)原點(diǎn),射線DA為軸正半軸, 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系 設(shè),則 (Ⅰ)33 設(shè)平面SBC的法向量為 由得 故 令 又設(shè),則 設(shè)平面CDE的法向量 則,得 故 令 由平面DEC平面SBC得 故SE=2EB. (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 取DE中點(diǎn)E,則 故,由此得 又,故, 由此得, 向量與的夾角等于二面角A—D

3、E—C的平面角. 于是 所以,二面角A—DE—C的大小為120°.33【例3】如圖,己知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形,AB∥CD,⊥BD垂足為H,PH是四棱錐的高,E為AD中點(diǎn). (Ⅰ)證明:PE⊥BC (Ⅱ)若==60°,求直線PA與平面PEH所成角的正弦值.【解析】以H為原點(diǎn),HA,HB,HP分別為x,y,z軸,線段HA的長為單位長,建立空間直角坐標(biāo)系如圖,則A(1,0,0),B(0,1,0) (I)設(shè)則 可得 因?yàn)? 所以 (II)由已知條件可得故, 設(shè)為平面PEH的法向量, 則即因此，取 由可得 所以直線PA與平

4、面PEH所成角的正弦值為【例4】如圖，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且（Ⅰ）求證：對任意的，都有（Ⅱ）設(shè)二面角C—AE—D的大小為，直線BE與平面ABCD所成的角為，若，求的值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】（Ⅰ）33（Ⅱ）證法2：以D為原點(diǎn)，的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如 圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則 D（0，0，0），A（，0，0），B（，，0），C（0，，0），E（0，0）， ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 即。（I）解法2：由（I）

5、得.設(shè)平面ACE的法向量為n=(x，y，z)，則由得。 易知平面ABCD與平面ADE的一個(gè)法向量分別為. .w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 0<，， . 由于，解得，即為所求。33【例6】OSABCDE如圖，在四棱錐中，底面是正方形，其他四個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，與的交點(diǎn)為，為側(cè)棱上一點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)為側(cè)棱的中點(diǎn)時(shí)，求證：∥平面；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）當(dāng)二面角的大小為時(shí)，試判斷點(diǎn)在上的位置，并說明理由．解法一：證明：（Ⅰ）連接，由條件可得∥．OSABCDE因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面．（Ⅱ）由已知可得?是中點(diǎn)，所以．又

6、因?yàn)樗倪呅问钦叫危裕驗(yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以平面平面．（Ⅲ）解：連接，由（Ⅱ）知．而,所以．又．所以是二面角的平面角，即．OyzxSABCDE設(shè)四棱錐的底面邊長為2，在中，,,所以．又因?yàn)?,所以是等腰直角三角形．由可知，點(diǎn)是的中點(diǎn)．解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)四棱錐的底面邊長為2，則，，，33，，．所以，．設(shè)（），由已知可求得．所以，．設(shè)平面法向量為，則即令，得．易知是平面的法向量．因?yàn)?，所以，所以平面平面．（Ⅲ）解：設(shè)（），由（Ⅱ）可知，平面法向量為．因?yàn)?，所以是?/p>

7、面的一個(gè)法向量．由已知二面角的大小為．所以，所以，解得．所以點(diǎn)是的中點(diǎn)．【例7】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面，，，，為的中點(diǎn) （Ⅰ）求直線與所成角的余弦值；（Ⅱ）在側(cè)面內(nèi)找一點(diǎn)，使面，并求出點(diǎn)到和的距離【解析】：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，33則的坐標(biāo)為、、、、、，從而設(shè)的夾角為，則∴與所成角的余弦值為 （Ⅱ）由于點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，故可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，由面可得，∴即點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而點(diǎn)到和的距離分別為【例8】如圖,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長都是地面邊長的倍,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)? (Ⅰ)求證:AC⊥

8、SD;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(Ⅱ)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大小(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,w使得BE∥平面PAC?若存在,求SE:EC的值;若不存在,試說明理由?解：(Ⅰ)連接,設(shè)交與,由題意,平面,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為