空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

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1、WORD格式-可編輯[備考方向要明了]考什么怎么考1.理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.3.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理).4.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題.了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用.1.高考中很少考查直線的方向向量,而平面法向量則多滲透在解答題中考查.2.利用向量法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系,在高考有所體現(xiàn),如2012年陜西T18,可用向量法證明.3

2、.高考對空間向量及應(yīng)用的考查,多以解答題形式考查,并且作為解答題的第二種方法考查,如2012年北京T16,天津T17等.[歸納·知識整合]1.兩個重要向量(1)直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的非零向量,一條直線的方向向量有無數(shù)個.(2)平面的法向量直線l⊥平面α,取直線l的方向向量,則這個向量叫做平面α的法向量.顯然一個平面的法向量有無數(shù)個,它們是共線向量.[探究] 1.在求平面的法向量時,所列的方程組中有三個變量,但只有兩個方程,如何求法向量?提示:給其中一個變量恰當賦值,

3、求出該方程組的一組非零解,即可作為法向量的坐標.2.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示專業(yè)知識--整理分享WORD格式-可編輯直線l1,l2的方向向量分別為n1,n2.l1∥l2n1∥n2?n1=λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2=0直線l的方向向量為n,平面α的法向量為ml∥αn⊥m?m·n=0l⊥αn∥m?n=λm平面α、β的法向量分別為n,m.α∥βn∥m?n=λmα⊥βn⊥m?n·m=03.兩條異面直線所成角的求法設(shè)兩條異面直線a,b的方向向量為a,b,其夾角為θ,則cosφ=

4、cos

5、θ

6、=(其中φ為異面直線a,b所成的角).4.直線和平面所成的角的求法如圖所示,設(shè)直線l的方向向量為e,平面α的法向量為n,直線l與平面α所成的角為φ,兩向量e與n的夾角為θ,則有sinφ=

7、cosθ

8、=.5.求二面角的大小(1)如圖①,AB、CD是二面角α-l-β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小θ=〈,〉.(2)如圖②③,n1,n2分別是二面角α-l-β的兩個半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ=〈n1,n2〉(或π-〈n1,n2〉).[探究] 2.兩向量的夾角的范圍是什么?兩異面直線所

9、成角呢?直線與平面所成角呢?二面角呢?提示:兩向量的夾角范圍是[0,π];兩異面直線所成角的范圍是;直線與平面所成角的范圍是;二面角的范圍是[0,π],注意以上各角取值范圍的區(qū)別.專業(yè)知識--整理分享WORD格式-可編輯6.點到平面的距離的向量求法如圖,設(shè)AB為平面α的一條斜線段,n為平面α的法向量,則點B到平面α的距離d=.[自測·牛刀小試]1.(教材習題改編)兩條不重合的直線l1和l2的方向向量分別為v1=(1,-1,2),v2=(0,2,1),則l1與l2的位置關(guān)系是(  )A.平行      

10、   B.相交C.垂直D.不確定解析:選C ∵v1·v2=1×0+(-1)×2+2×1=0,∴v1⊥v2,從而l1⊥l2.2.若直線l的方向向量為a=(1,0,2),平面α的法向量為n=(-2,0,-4),則(  )A.l∥αB.l⊥αC.l?αD.l與α斜交解析:選B ∵a=(1,0,2),n=(-2,0,-4)∴n=-2a,即a∥n.∴l(xiāng)⊥α.3.若平面α、β的法向量分別為n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),則(  )A.α∥βB.α⊥βC.α、β相交但不垂直D.以上均不正確解析:選

11、C ∵n1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)≠0,∴n1與n2不垂直,∴α與β相交但不垂直.4.(教材習題改編)已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面所成的二面角的大小為________.解析:cos〈m,n〉===,即〈m,n〉=45°,其補角為135°.∴兩平面所成的二面角為45°或135°.答案:45°或135°5.若平面α的一個法向量為n=(2,1,2),直線l的一個方向向量為a=(-1,1,1),則l與α所成的角的正弦值為________.解析

12、:設(shè)直線l與平面α所成的角為θ,則sinθ=

13、cos〈n,a〉

14、=專業(yè)知識--整理分享WORD格式-可編輯==.答案:用向量法證明平行、垂直[例1] 在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC,E、F、E1分別是棱AA1,BB1,A1B1的中點.(1)求證:CE∥平面C1E1F;(2)求證:平面C1E1F⊥平面CEF.[自主解析] 以D為原點,DA,DC,DD1所在的直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,設(shè)BC=1,則C(0,1,0

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