試談求函數(shù)值域的基本思想及方法

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1、試談求函數(shù)值域的基本思想及方法　　摘要：本文簡述了求函數(shù)值域（或最值）常用的基本方法函數(shù)的值域是研究函數(shù)不可缺少的一個重要方面。求函數(shù)值域是函數(shù)這部分內(nèi)容的重、難點(diǎn)問題之一。求函數(shù)值域首先要考察定義域。以一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等基本函數(shù)的圖象和性質(zhì)為基礎(chǔ)，尤其要熟練掌握二次函數(shù)式在給定區(qū)間上值域的求法。應(yīng)用化歸思想、方程思想、相互制約思想、幾何思想、基本不等式以及單調(diào)性、奇偶性、周期性等函數(shù)性質(zhì)?！　￡P(guān)鍵詞：函數(shù)；值域；教學(xué)方法　　中圖分類號：G623文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1674-9324（2

2、014）22-0100-02　　一、求二次函數(shù)式在自然定義域上的值域，一般將函數(shù)式y(tǒng)=ax2+bx+c（a≠0）化為y=a（x-m）2+n的形式，這里m=-■，n=■?；蛇@種形式體現(xiàn)兩個優(yōu)點(diǎn)：①知道圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)（m，n）、對稱軸及函數(shù)最值；②函數(shù)的兩個單調(diào)區(qū)間為（-∞，m]、[m，+∞）。這樣，若a>0，其值域?yàn)閇m，+∞）；若a<0，其值域?yàn)椋?∞，m]　　求二次函數(shù)式在限定區(qū)間D上的值域，先考察頂點(diǎn)橫坐標(biāo)m與區(qū)間D的關(guān)系。如果m∈D，那么一個最值就是n，再通過考察區(qū)間D的兩個端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值就能確定值域；如果m？埸D，那么D必是函數(shù)的

3、單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性就能求出值域。4　　二、化歸思想――通過替換或變形等方法把函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)式或基本函數(shù)有聯(lián)系的形式，進(jìn)而利用基本函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定出值域　　【例1】：求函數(shù)y=■的值域?！　》治觯捍撕瘮?shù)式分母變化，分子為常數(shù)，其外形就是冪函數(shù)y=■，　　因此，可通過替換化歸為冪函數(shù)后就可求出值域?！　〗猓涸O(shè)x2-3x+2=t，則y=■　　因t=（x-■）2-■≥-■且t≠0，　　如圖可知y≤-4或y>0，∴函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-4]∪（0，+∞）。　　【例2】：求函數(shù)y=（■）-x■-4x+5的值域?！　》治觯捍撕瘮?shù)式底數(shù)為常數(shù)，指數(shù)

4、變化，外形就是指數(shù)函數(shù)y=（■）x。因此，可化歸為指數(shù)函數(shù)后，就能求出值域?！　〗猓涸O(shè)-x2-4x+5=t，則y=（■）t。因t=-（x+2）2+9≤9，而y=（■）t是減函數(shù)，∴y>（■）9=■，即函數(shù)的值域是[■，+∞）。　　三、方程思想――一個函數(shù)式實(shí)際上就是關(guān)于自變量x與函數(shù)值y的方程，而根據(jù)函數(shù)的定義可知，這個方程必關(guān)于x有解，因此有時(shí)我們把函數(shù)式變形為關(guān)于x的方程后，利用方程有解的條件建立關(guān)于y的不等式關(guān)系，從而求出值域　　【例3】：求函數(shù)y=log2ax+2logax+2的值域?！　》治觯喊押瘮?shù)式視為關(guān)于x的方程，則這個方程關(guān)于

5、x有解，因?yàn)閤∈（0，+∞），所以logax∈R，這樣把函數(shù)式看作關(guān)于logax的一元二次方程，那么這個方程恒有解，利用一元二次方程有解的條件就能求出值域。　　解：因x>0，∴l(xiāng)ogax∈4R，設(shè)logax=t，則函數(shù)式可變形為t2+2t+（2-y）=0由Δ=4-4（2-y）≥0解得y≥1，故函數(shù)的值域是[1，+∞）?！　∷?、制約思想――自變量x與函數(shù)值y相互依存又相互制約?！　　纠?】：求函數(shù)y=■的值域?！　》治觯河捎趛受sinx的制約，而sinx∈（-1，1），因此從函數(shù)式解出sinx=f（y），通過-1≤f（y）≤1可求得值域?！　　?/p>

6、例5】：求函數(shù)y=■的值域?！　》治觯河捎趛受x2的制約，而x2≥0，因此從函數(shù)式解出x2=f（y），通過f（y）≥0能確定值域?！　∥?、幾何思想――幾何思想即數(shù)形結(jié)合思想，通過作出函數(shù)的圖象或根據(jù)函數(shù)式所表示的意義畫出相應(yīng)圖形，進(jìn)而求出值域　　思路一：畫出函數(shù)的圖象，可觀察出值域。思路二：由于

7、x-3

8、-

9、x+1

10、表示數(shù)軸上的點(diǎn)到3的距離與到-1的距離之差，因此，通過數(shù)軸可知值域是[-4，4]?！　　纠?】：求函數(shù)y=■的值域?！　》治觯阂?yàn)楹瘮?shù)y=■的幾何意義為兩點(diǎn)P（-2，0），Q（cosx，sinx）連線的斜率k，而點(diǎn)Q在單位圓x2+

11、y2=1上（如圖），　　易求得-■≤k≤■∴值域是[-■，■]?！　×?、注意留意基本不等式即函數(shù)的單調(diào)性　　【例7】：求函數(shù)y=x（3-2x），00　　故函數(shù)的值域是（0，■]。4　　除以上基本思想方法外，要注意考察奇偶性與周期性。如果是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們只求正區(qū)間或負(fù)區(qū)間上函數(shù)值的范圍，根據(jù)對稱性就能確定值域；如果是周期函數(shù)，只求一周期區(qū)間上的值域?！　】傊?，求值域是個較困

12、難且較為靈活的問題，需靈活運(yùn)用所學(xué)，靈活解決。　　參考文獻(xiàn)：　　[1]史海平.一類函數(shù)值域的新求法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，1989（05）.　　[2]方亞娜.函數(shù)值域