[編輯本段]歐拉定理

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1、[編輯本段]　　歐拉定理　　對(duì)于互質(zhì)的整數(shù)a和n，有aφ(n)≡1modn　　證明：　　首先證明下面這個(gè)命題：　　對(duì)于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)}，考慮集合　　S={ax1modn,ax2modn,...,axφ(n)modn}　　則S=Zn　　1)由于a,n互質(zhì)，xi也與n互質(zhì)，則axi也一定于p互質(zhì)，因此　　任意xi，aximodn必然是Zn的一個(gè)元素　　2)對(duì)于Zn中兩個(gè)元素xi和xj，如果xi≠xj　　則aximodn≠aximodn，這個(gè)由a、p互質(zhì)和消去律可以得出。　　所以，很明

2、顯，S=Zn　　既然這樣，那么　　（ax1×ax2×...×axφ(n)）modn　　=（ax1modn×ax2modn×...×axφ(n)modn）modn　　=（x1×x2×...×xφ(n)）modn　　考慮上面等式左邊和右邊　　左邊等于(aφ(n)×（x1×x2×...×xφ(n)）modn)modn　　右邊等于x1×x2×...×xφ(n)）modn　　而x1×x2×...×xφ(n)）modn和p互質(zhì)　　根據(jù)消去律，可以從等式兩邊約去，就得到：　　aφ(n)≡1modn　　推論：對(duì)于互質(zhì)的數(shù)a

3、、n，滿足aφ(n)+1≡amodn　　費(fèi)馬定理　　a是不能被質(zhì)數(shù)p整除的正整數(shù)，則有ap-1≡1modp　　證明這個(gè)定理非常簡(jiǎn)單，由于φ(p)=p-1，代入歐拉定理即可證明?！　⊥瑯佑型普摚簩?duì)于不能被質(zhì)數(shù)p整除的正整數(shù)a，有ap≡amodp[編輯本段]歐拉公式　　簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F及棱數(shù)E間有關(guān)系　　V+F-E=2　　這個(gè)公式叫歐拉公式。公式描述了簡(jiǎn)單多面體頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)特有的規(guī)律。[編輯本段]認(rèn)識(shí)歐拉　　歐拉，瑞士數(shù)學(xué)家，13歲進(jìn)巴塞爾大學(xué)讀書，得到著名數(shù)學(xué)家貝努利的精心指導(dǎo)．歐拉是科學(xué)史

4、上最多產(chǎn)的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他從19歲開始發(fā)表論文，直到76歲，他那不倦的一生，共寫下了886本書籍和論文，其中在世時(shí)發(fā)表了700多篇論文。彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，整整用了47年?！　W拉著作驚人的高產(chǎn)并不是偶然的。他那頑強(qiáng)的毅力和孜孜不倦的治學(xué)精神，可以使他在任何不良的環(huán)境中工作：他常常抱著孩子在膝蓋上完成論文。即使在他雙目失明后的17年間，也沒(méi)有停止對(duì)數(shù)學(xué)的研究，口述了好幾本書和400余篇的論文。當(dāng)他寫出了計(jì)算天王星軌道的計(jì)算要領(lǐng)后離開了人世。歐拉永遠(yuǎn)是我們可敬的老師?！　W拉研究論著幾乎涉及到所

5、有數(shù)學(xué)分支，對(duì)物理力學(xué)、天文學(xué)、彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)、音樂(lè)都有研究！有許多公式、定理、解法、函數(shù)、方程、常數(shù)等是以歐拉名字命名的。歐拉寫的數(shù)學(xué)教材在當(dāng)時(shí)一直被當(dāng)作標(biāo)準(zhǔn)教程。19世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家高斯（Gauss，1777-1855）曾說(shuō)過(guò)“研究歐拉的著作永遠(yuǎn)是了解數(shù)學(xué)的最好方法”。歐拉還是數(shù)學(xué)符號(hào)發(fā)明者，他創(chuàng)設(shè)的許多數(shù)學(xué)符號(hào)，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f(x)等等，至今沿用。　　歐拉不僅解決了彗星軌跡的計(jì)算問(wèn)題，還解決了使牛頓頭痛的月離問(wèn)題。對(duì)著名的“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”的完美解答開創(chuàng)了“圖論

6、”的研究。歐拉發(fā)現(xiàn)，不論什么形狀的凸多面體，其頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E、面數(shù)F之間總有關(guān)系V+F-E=2，此式稱為歐拉公式。V+F-E即歐拉示性數(shù)，已成為“拓?fù)鋵W(xué)”的基礎(chǔ)概念。那么什么是“拓?fù)鋵W(xué)”？歐拉是如何發(fā)現(xiàn)這個(gè)關(guān)系的？他是用什么方法研究的？今天讓我們沿著歐拉的足跡，懷著崇敬的心情和欣賞的態(tài)度探索這個(gè)公式......[編輯本段]歐拉定理的意義　?。?）數(shù)學(xué)規(guī)律：公式描述了簡(jiǎn)單多面體中頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)之間特有的規(guī)律　?。?）思想方法創(chuàng)新：定理發(fā)現(xiàn)證明過(guò)程中，觀念上，假設(shè)它的表面是橡皮薄膜制成的，可隨意拉伸；方法

7、上將底面剪掉，化為平面圖形（立體圖→平面拉開圖）?！　。?）引入拓?fù)鋵W(xué)：從立體圖到拉開圖，各面的形狀、長(zhǎng)度、距離、面積等與度量有關(guān)的量發(fā)生了變化，而頂點(diǎn)數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)等不變?！　《ɡ硪龑?dǎo)我們進(jìn)入一個(gè)新幾何學(xué)領(lǐng)域：拓?fù)鋵W(xué)。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料（如橡皮波）做成的圖形，拓?fù)鋵W(xué)就是研究圖形在這種變形過(guò)程中的不變的性質(zhì)?！　。?）提出多面體分類方法：　　在歐拉公式中，f(p)=V+F-E叫做歐拉示性數(shù)。歐拉定理告訴我們，簡(jiǎn)單多面體f(p)=2?！　〕?jiǎn)單多面體外，還有非簡(jiǎn)單多面體。例如，將長(zhǎng)方體

8、挖去一個(gè)洞，連結(jié)底面相應(yīng)頂點(diǎn)得到的多面體。它的表面不能經(jīng)過(guò)連續(xù)變形變?yōu)橐粋€(gè)球面，而能變?yōu)橐粋€(gè)環(huán)面。其歐拉示性數(shù)f(p)=16+16-32=0，即帶一個(gè)洞的多面體的歐拉示性數(shù)為0?！　。?）利用歐拉定理可解決一些實(shí)際問(wèn)題　　如：為什么正多面體只有5種？足球與C60的關(guān)系？否有棱數(shù)為7的正多面體？等[編輯本段]歐拉定理的證明　　方法1：（利用幾何畫板）　　逐步減少多面體的棱數(shù)，分析V+F-E　　先以簡(jiǎn)單的四面體ABC