振蕩奇異積分算子在herz型空間的有界性大論

振蕩奇異積分算子在herz型空間的有界性大論

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1、第一章振蕩奇異積分算子在Herz型空間的有界性于湖波作者簡介:于湖波(1987-),男,山東人,碩士研究生,研究方向為調(diào)和分析及其應用.資助項目:國家自然科學基金項目(11041004);山東省自然科學基金項目(ZR2010AM032).,趙凱,姜諾,席芳,張紅?。ㄇ鄭u大學數(shù)學科學學院,山東青島266071)摘要:文章研究了振蕩奇異積分算子的有界性問題,當時,借助于在空間和Herz型空間的有界性結果,得到了在Herz型Besov空間和Herz型Triebel-Lizorkin空間的有界性.關鍵詞:振蕩奇異積分;Herz空間;Besov空間;Triebel-Lizorkin空間;有

2、界性中圖分類號:O174.2文獻標識碼:A主題分類號:42B20用表示上的單位球面,設是上的零次齊次函數(shù),滿足和,(1)這里,.定義振蕩奇異積分,其中是上的實質(zhì)多項式函數(shù),是Calderón-Zygmund核.如果滿足,對所有的.(2)則說是齊次.近幾十年來,振蕩奇異積分算子受到很多學者的關注,在文獻[1]中,Ricci和Stein證明了如果且滿足(1),滿足條件(2),則在上是有界的,,而且只與的次數(shù)有關,跟它的系數(shù)無關.接著,Chanillo和Christ在文獻[2]里面證明算子還是弱型.1992年,陸善真在文獻[3]中通過一個更弱的條件,,改善了上述結果.2000年,Oja

3、nen在文獻[4]中證明了算子在上是有界的,其中滿足一個更弱的條件.2005年,Chen,Jia和Jiang證明了算子在Triebel-Lizorkin空間上的有界性.受這些研究啟發(fā),本文討論了當時,振蕩奇異積分算子在Herz型Besov空間和Herz型Triebel-Lizorkin空間的有界性.1.有關概念和主要結果定義1[8]對于,記,.是的特征函數(shù),令,,齊次Herz空間定義為,其中.對于,設,,且滿足下面條件:(i);(ii);(iii).Herz型Besov空間和Herz型Triebel-Lizorkin空間的定義如下:定義2[8]對于,,和,定義為Herz型Beso

4、v空間,記為.定義為Herz型Triebel-Lizorkin空間,記為.這里的主要結果是:定理1設,和.如果且滿足條件(1),滿足(2),多項式函數(shù)滿足.則振蕩奇異積分積分算子在Herz型Triebel-Lizorkin空間有界,且的范數(shù)與的系數(shù)無關.定理2設,和.如果且滿足條件(1),滿足(2),多項式函數(shù)滿足.則振蕩奇異積分積分算子在Herz型Besov空間有界,且的范數(shù)與的系數(shù)無關.2引理為了證明結論,先看下面的幾個引理:引理1[5]設,如果且滿足條件(1),滿足(2),則振蕩奇異積分算子在上有界,,的范數(shù)與的系數(shù)無關.引理2[6]設,和.如果且滿足條件(1),滿足(2)

5、,多項式函數(shù)滿足,則振蕩奇異積分積分算子在上有界,的范數(shù)與的系數(shù)無關.引理3設,和.如果且滿足條件(1),滿足(2),多項式函數(shù)滿足,存在一個與無關的常數(shù),使得.則振蕩奇異積分積分算子在上有界,這里,,且的范數(shù)與的系數(shù)無關.為了證明引理3,先看下面這個引理:引理4[7]設,,(),,同上面的引理3,定義粗糙核極大算子.則有(1);(2).引理3的證明:記,則.對于,由引理4中(1)得.對于,當,,,所以,則,.因此,由引理4中(2)得對于,當時,,,有,所以.則由H?lder不等式和引理4得=.所以.綜上所述,引理3得到證明.3定理的證明定理1的證明:由引理3得.定理2的證明:由

6、引理2得.定理得證.4結論由定理的結論可知,當時,振蕩奇異積分算子在Herz型Besov空間和Herz型Triebel-Lizorkin空間上是有界的.第二章CRW型交換子在Herz型空間的有界性1.1引言和主要結果用表示上的單位球面,設是上的零次齊次函數(shù),滿足和,(2.1)這里,.定義奇異積分算子如下,(2.2)設,由振蕩奇異積分算子和生成的交換子定義(2.3)1976年,Coifman,Rochberg和Weiss首先在文獻[9]里面證明了當時為有界的充要條件是,因此又稱為Coifman-Rochberg-Weiss型交換子,并注意到了奇異積分交換子的有界性可以刻劃BMO空間

7、.后來Janson[10]和Paluszynski[11]等的研究表明奇異積分交換子的有界性可以用來刻劃包括BMO,Besov-Lipschitz類等在內(nèi)的各種函數(shù)空間。1978年Coifman和Meyer[12]發(fā)現(xiàn)當時,Coifman-Rochberg-Weiss型交換子的有界性可以從算子的權模估計中得到,其中表示Muckenhoupt權函數(shù)類。1993年Alverez,Bagby,Kurtz和Perez[13]發(fā)展了Coifman和Meyer的思想,建立了線性算子交換子有界

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