Fourier積分算子在Herz型空間上的有界性

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1、湖南大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：此處所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的成果．除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體己經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品．對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明．本人完全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)．作者簽名：刊雨寢日期：卸g年手月膳El學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱．本人授權(quán)湖南大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印

2、、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文．本學(xué)位論文屬于1、保密口，在年解密后試用本授權(quán)書．2、不保密團(tuán)．(請(qǐng)?jiān)谝陨舷鄳?yīng)方框內(nèi)打“／”)作者簽名：列雨霞導(dǎo)師簽名：烏琳日期：M‘年日期：工Dd6年F月旭日I-月I占日碩士學(xué)位論文第1章緒論1．1問題研究的背景以及意義自六十年代中期以來，隨著偏微分方程理論的發(fā)展，出現(xiàn)了擬微分算子和Fourier積分算子的理論．它們?yōu)檠芯烤€性偏微分方程中的許多經(jīng)典問題，以及一般線性微分算子理論提供了強(qiáng)有力的工具．并且，隨著這一理論進(jìn)一步的發(fā)展，逐漸被應(yīng)用到非線性偏微分方程以及其他學(xué)科[1-5]．隨著Fourier積分算子理論對(duì)偏微分方程及其相關(guān)

3、領(lǐng)域所起到的巨大的推動(dòng)作用，反過來又促使Fourier積分箅子理論進(jìn)一步發(fā)展．例如：考察波動(dòng)方程的Cauchy問題【6lI象一c2(△u)=0，

4、(1．3)J或者更為一般地，由形如Af(x)=／／eiS(撕￡)o(z，Y，∈)，(Ⅳ)由武(1．4)J的算子表示出(在(1．3)及(1．4)中我們省略了參數(shù)t)．由此可以推想，這類算子在雙曲型方程的Cauchy問題求解中起著很重要的作用，與利用Fourier變換方法處理常系數(shù)方程相仿．從一定意義上來說．Fourier積分算子是為處理變系數(shù)方程問題而產(chǎn)生的現(xiàn)代工具，它在變系數(shù)方程中所起的作用，與Fourier交換在常系數(shù)方程中所起的作用有些類似．當(dāng)然，盡管Fourier交換是這種算子的一個(gè)特例(當(dāng)s(z，f)=(。，f)，n(z，f)=1時(shí))，這類算子一般說來要比Fouri

5、er變換復(fù)雜得多．對(duì)于擬微一1一Fourier積分算子在Hel：z型空間上的有界性分算子，是處理橢圓型微分方程問題的有利工具，其適當(dāng)?shù)淖冃芜€可以用來處理某些雙曲型問題．但對(duì)于真正的非橢圓問題就需要研究Fourier積分算子．對(duì)于定義如下的Fourier積分算予：Tf(x)=／e2“蕾忙X)a(x，∈)，(∈)越，(1．5)JRn其中振幅函數(shù)a(x，∈)∈s品，且a(x，f)關(guān)于X緊支，相函數(shù)垂是實(shí)值的，關(guān)于∈正齊一次函數(shù)且垂(。，∈)關(guān)于(z，∈)在∈≠0與a的支集的交集處光滑．同時(shí)西滿足非退化條件，即在∈≠0與a的支集的交集處有aet(鑫)≠。稱這種算子為m階Fourie

6、r積分算子．1970年，G．I．Eskin州通過證明T+T是0階擬微分算子，得到了Fourier積分算子r在驢上的有界性．類似地，討論了p階Fourier積分算子從瑗舡到L：一。，l。是有界的，其中鹺舡表示局部Q階Lp—Sobelov空間．1973年，W．Littman【8】使用穩(wěn)定位相法，證明了位相函數(shù)圣(。，Y，∈)=+Itl(波方程的解就是這種形式的Fourier積分算子)時(shí)肛階Fourier積分算子在護(hù)上的有界性，其中p≤一∞一1)·11／p一1／21，1

7、積分算子從護(hù)到工尸，有界性．隨后，Petal110】，M．Beals[tl】和Miyachi[121討論了波方程與相關(guān)Fourier積分算子也是這樣的．1985年，仇慶久f13'141分別討論了一類Fourier積分算子在Besov空間上的有界性和擴(kuò)上的估計(jì)．1986年，他又在文獻(xiàn)【151中討論較一般條件下的Fourier積分算子保持p有界性問題．對(duì)于與局部典則象有關(guān)的一般的Fourier積分算子，AndreasSeeger，Churisto-pherD．Sogge和EliasM．Stein1161通過Fourie