有解與恒成立問題專題.doc

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1、“有解”與“恒成立”專題不等式歷來是高考和競(jìng)賽的熱點(diǎn)，不等式“有解”與“恒成立”是很容易混淆的問題．下面給出一組命題，說明兩者之間的區(qū)別．（1）恒成立；（2）恒成立；（3）有解；（4）有解．例1　已知，函數(shù)在上有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例2　不等式有解，求的取值范圍．例3　對(duì)于不等式，存在實(shí)數(shù)，使此不等式成立的實(shí)數(shù)的集合是；對(duì)于任意，使此不等式恒成立的實(shí)數(shù)的集合為，求集合．恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型：①一次函數(shù)型；②二次函數(shù)型；③變量分離型；④根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)；⑤直接根據(jù)函數(shù)的圖象等。1.一次函數(shù)型（多為變換主元法）給定一次函數(shù)y

2、=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]內(nèi)恒有f(x)>0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結(jié)論等價(jià)于?。┗颌ⅲ┮嗫珊喜⒍ǔ赏?，若在[m,n]內(nèi)恒有f(x)<0，則有nmoxynmoxy例1．已知對(duì)于任意的a∈[-1,1]，函數(shù)f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0恒成立，求x的取值范圍.點(diǎn)評(píng)對(duì)于含有兩個(gè)參數(shù)，且已知一參數(shù)的取值范圍，可以通過變量轉(zhuǎn)換，構(gòu)造以該參數(shù)為自變量的函數(shù)，利用函數(shù)圖象求另一參數(shù)的取值范圍。例2.對(duì)于滿足

3、p

4、2的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。例3.若不等式對(duì)滿足的所有都成立，

5、求x的范圍。例4．對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式在上恒成立的問題。2.二次函數(shù)型類型1：設(shè)，（1）上恒成立；（2）上恒成立。類型2：設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，上恒成立，上恒成立（2）當(dāng)時(shí)，上恒成立上恒成立若二次函數(shù)y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，則有若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識(shí)求解。例1．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍。。例2.若不等式的解集是R，求m的范圍。例3．設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。例4.已知，若

6、恒成立，求a的取值范圍.3.最值法將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題的一種處理方法，其一般類型有：1）恒成立2）恒成立例1.（1）求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。（2）求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍。例2．在ABC中，已知恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍。例3．已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。例4．函數(shù)，若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。例5.已知，若恒成立，求a的取值范圍.例6設(shè)函數(shù)．(Ⅰ)求的最小值；(Ⅱ)若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．4.變量分離型若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量

7、分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，從而問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強(qiáng)。一般地有：1）恒成立2）恒成立例1.已知對(duì)于滿足等式x2+(y-1)2=1的一切實(shí)數(shù)x、y,不等式x+y+c≥0恒成立，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（）A(-,0]B[,+)C[-1,+)D[1-,+)例2.已知當(dāng)xR時(shí)，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。例3．已知函數(shù)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。例4已知函數(shù)，若在區(qū)間上，的圖象位于函數(shù)f(x)的上方，求k的取值范圍.變式若本題中將改為，其余條件不變，則也可以

8、用變量分離法解.10．（2010天津理數(shù)）（16）設(shè)函數(shù)，對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.5．?dāng)?shù)形結(jié)合法數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，這充分說明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：1）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象上方；2）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象下上方。例1．若關(guān)于的不等式

9、x+3

10、+

11、x-1

12、>a恒成立,則a的取值范圍是（）,Aa≤4Ba<4Ca>4Da≥4例2．當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式(x-1)2

13、xyO例4設(shè)函數(shù),,若恒有成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.例5、已知關(guān)于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：方程可轉(zhuǎn)化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),從而得x2+20x=8x-6a-3>0,注意到若將等號(hào)兩邊看成是二次函數(shù)y=x2+20x及一次函數(shù)y=8x-6a-3，則只需考慮這兩個(gè)函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點(diǎn)即可。例6．已知，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。例7．若當(dāng)P(m,n)為圓上任意一點(diǎn)時(shí)，不等式恒成立，則c的取值范圍是（）A、B、C、D、6．根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)若函數(shù)f(x)是奇(偶

14、)函數(shù)，則對(duì)一切定義域中