恒成立問題與有解問題的區(qū)別.doc

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1、恒成立問題與有解問題的區(qū)別恒成立與有解問題一直是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。它是函數(shù)、數(shù)列、不等式等內(nèi)容交匯處的一個較為活躍的知識點，在近幾年的高考試題中，越來越受到高考命題者的青睞，涉及恒成立與有解的問題，有時在同一套試題中甚至有幾道這方面的題目。本文就恒成立與有解問題做一比較。1、恒成立問題1.1恒成立問題與一次函數(shù)聯(lián)系給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]內(nèi)恒有f(x)>0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結(jié)論等價于ⅰ）或ⅱ）亦可合并定成同理，若在[m,n]內(nèi)恒有f(x)<0，則有例1、對于滿足

2、p

3、2的所有實數(shù)p,求使

4、不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個字母：x及P,關(guān)鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數(shù)。顯然可將p視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在[-2，2]內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題。略解：不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,設(shè)f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,則f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：即解得：∴x<-1或x>3.1.2恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系若二次函數(shù)y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，則有，若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，還可以利用韋達(dá)定理以及根與系

5、數(shù)的分布知識求解。例2、設(shè)f(x)=x2-2ax+2,當(dāng)x[-1,+)時，都有f(x)a恒成立，求a的取值范圍。分析：題目中要證明f(x)a恒成立，若把a移到等號的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間[-1,+)時恒大于0的問題。解：設(shè)F(x)=f(x)-a=x2-2ax+2-a.ⅰ)當(dāng)=4（a-1)(a+2)<0時，即-2

6、變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。例3、已知當(dāng)xR時，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。分析：在不等式中含有兩個變量a及x，其中x的范圍已知（xR），另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。解：原不等式即：4sinx+cos2x<-a+5要使上式恒成立，只需-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述問題轉(zhuǎn)化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值問題。f(x)=4sinx+cos2x=-2sin2x+

7、4sinx+1=-2(sinx-1)2+33,∴-a+5>3即>a+2上式等價于或解得。注：注意到題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx換元成t,則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)類型。2、有解問題2.1有解問題與二次不等式聯(lián)系例4、不等式有解，求的取值范圍。解：不等式有解有解有解，所以。2.2有解問題與絕對值不等式聯(lián)系例5、對于不等式，存在實數(shù)，使此不等式成立的實數(shù)的集合是；對于任意，使此不等式恒成立的實數(shù)的集合為，求集合．解：由又有解，所以．令恒成立．所以．2.3有解問題與導(dǎo)數(shù)聯(lián)系例6、（06年湖北）設(shè)x

8、=3是函數(shù)f(x)=(x2+ax+b)e,xR的一個極值點.(1)求a與b的關(guān)系（用a表示b），并求f(x)的的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)a>0，g(x)=，若存在S1，S2[0，4]，使得

9、f(S1)-g(S2)

10、<1成立，求a的取值范圍.解析：（1），由=0得b=-2a-3.故f(x)=(x2+ax-2a-3)因為=-[x2+(a-2)x-3a-3]=-(x-3)(x+a+1).由=0得：x1=3，x2==-a-1.由于x=3是f(x)的極值點，故x1≠x2，即a≠-4.當(dāng)a<-4時，x1

11、減函數(shù).當(dāng)a>-4時，x1>x2，故f(x)在上為減函數(shù)，在[-a-1，3]上為增函數(shù)，在上為減函數(shù).(2)由題意，存在S1，S2[0，4]，使得

12、f(S1)-g(S2)

13、<1成立，即不等式

14、f(S1)-g(S2)

15、<1在S1，S2[0，4]上有解.于是問題轉(zhuǎn)化為

16、f(S1)-g(S2)

17、<1，由于兩個不同自變量取值的任意性，因此首先要求出f(S1)和g(S2)在[0，4]上值域.因為a>0，則-a-1<0，由（1）知：f(x)在[0，3]遞增；在[3，4]遞減.故f(x)在[0，4]上的值域為[min{f(0),f(4)},f(3)]=[-(2a+3

18、)e,a+6]，而g(x)=在[0，4]上顯然為增函數(shù)，其值域因為故

19、f(S1)-g(S2)

20、