導(dǎo)數(shù)的概念教案

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1、【教學(xué)課題】：§2.1導(dǎo)數(shù)的概念（第一課時(shí)）【教學(xué)目的】：能使學(xué)生深刻理解在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的概念，能準(zhǔn)確表達(dá)其定義；明確其實(shí)際背景并給出物理、幾何解釋；能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；明確一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】：在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】：在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾種等價(jià)定義及其應(yīng)用?！窘虒W(xué)方法】：系統(tǒng)講授，問(wèn)題教學(xué)，多媒體的利用等?！窘虒W(xué)過(guò)程】：一）導(dǎo)數(shù)的思想的歷史回顧導(dǎo)數(shù)的概念和其它的數(shù)學(xué)概念一樣是源于人類的實(shí)踐。導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Fermat）為研究極值問(wèn)題而

2、引入的，但導(dǎo)數(shù)作為微積分的最主要的概念，卻是英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓（Newton）和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲（Leibniz）在研究力學(xué)與幾何學(xué)的過(guò)程中建立起來(lái)的。二）兩個(gè)來(lái)自物理學(xué)與幾何學(xué)的問(wèn)題的解決問(wèn)題1（以變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的問(wèn)題的解決為背景）已知：自由落體運(yùn)動(dòng)方程為：，，求：落體在時(shí)刻（）的瞬時(shí)速度。問(wèn)題解決：設(shè)為的鄰近時(shí)刻，則落體在時(shí)間段（或）上的平均速度為若時(shí)平均速度的極限存在，則極限為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度。問(wèn)題2（以曲線在某一點(diǎn)處切線的斜率的問(wèn)題的解決為背景）已知：曲線上點(diǎn)，求：點(diǎn)處切線的斜率。下面給出切線的

3、一般定義；設(shè)曲線及曲線上的一點(diǎn)，如圖，在外上另外取一點(diǎn)，作割線，當(dāng)沿著趨近點(diǎn)時(shí)，如果割線繞點(diǎn)5旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置，直線就稱為曲線在點(diǎn)處的切線。問(wèn)題解決：取在上附近一點(diǎn)，于是割線PQ的斜率為（為割線的傾角）當(dāng)時(shí)，若上式極限存在，則極限（為割線的傾角）為點(diǎn)處的切線的斜率。上述兩問(wèn)題中，第一個(gè)是物理學(xué)的問(wèn)題，后一個(gè)是幾何學(xué)問(wèn)題，分屬不同的學(xué)科，但問(wèn)題的解決都?xì)w結(jié)到求形如（1）的極限問(wèn)題。事實(shí)上，在學(xué)習(xí)物理學(xué)時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，在計(jì)算諸如物質(zhì)比熱、電流強(qiáng)度、線密度等問(wèn)題中，盡管其背景各不相同，但最終都化歸為討論形如（1）的極限問(wèn)題

4、。也正是這類問(wèn)題的研究，促使“導(dǎo)數(shù)”的概念的誕生。三）導(dǎo)數(shù)的定義定義設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，若極限存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱該極限為在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作。即（2）也可記作，，。若上述極限不存在，則稱在點(diǎn)處不可導(dǎo)。在處可導(dǎo)的等價(jià)定義：設(shè)，若則等價(jià)于，如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，可等價(jià)表達(dá)成為以下幾種形式：5（3）（4）（5）三）利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)例子例1求在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，并求曲線在點(diǎn)處的切線方程。解　由定義于是曲線在處的切線斜率為2，所以切線方程為，即。例2設(shè)函數(shù)為偶函數(shù)，存在，證明：。證又注意：這種形式的靈活應(yīng)用

5、。此題的為。例3討論函數(shù)在處的連續(xù)性，可導(dǎo)性。解首先討論在處的連續(xù)性：即在處連續(xù)。再討論在處的可導(dǎo)性：5此極限不存在即在處不可導(dǎo)。問(wèn)怎樣將此題的在的表達(dá)式稍作修改，變?yōu)樵谔幙蓪?dǎo)？答，即可。四）可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系由上題可知；在一點(diǎn)處連續(xù)不一定可導(dǎo)。反之，若設(shè)在點(diǎn)可導(dǎo)，則由極限與無(wú)窮小的關(guān)系得：，所以當(dāng)，有。即在點(diǎn)連續(xù)。故在一點(diǎn)處連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系是：連續(xù)不一定可導(dǎo)，可導(dǎo)一定連續(xù)。三）單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念例4證明函數(shù)在處不可導(dǎo)。證明　，極限不存在。故在處不可導(dǎo)。在函數(shù)分段點(diǎn)處或區(qū)間端點(diǎn)等處，不得不考慮單側(cè)導(dǎo)數(shù)：定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的

6、某右鄰域上有定義，若右極限（）存在，則稱該極限為在點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)，記作。左導(dǎo)數(shù)。左、右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)與左、右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，則存在，都存在，且=。5例5設(shè)，討論在處的可導(dǎo)性。解　由于從而，故在處不可導(dǎo)。三）小結(jié):本課時(shí)的主要內(nèi)容要求：①深刻理解在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的概念，能準(zhǔn)確表達(dá)其定義；②注意這種形式的靈活應(yīng)用。③明確其實(shí)際背景并給出物理、幾何解釋；④能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；⑤明確導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。5