白濤教學(xué)設(shè)計(jì)案例

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1、任意角的三角函數(shù)一、教學(xué)內(nèi)容解析這是一堂關(guān)于任意角的三角函數(shù)的概念課．在初中，學(xué)生已學(xué)過銳角三角函數(shù)，知道直角三角形中銳角的三角函數(shù)等于相應(yīng)邊長(zhǎng)的比值．在此基礎(chǔ)上，隨著本章將角的概念推廣，以及引入弧度制后，這里相應(yīng)地也要將銳角三角函數(shù)推廣為任意角的三角函數(shù)，但它與解三角形已經(jīng)沒有什么關(guān)系了．任意角的三角函數(shù)是研究一個(gè)實(shí)數(shù)集（角的弧度數(shù)構(gòu)成的集合）到另一個(gè)實(shí)數(shù)集（角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)或其比值構(gòu)成的集合）的對(duì)應(yīng)關(guān)系，認(rèn)識(shí)它需要借助單位圓、角的終邊以及二者的交點(diǎn)這些幾何圖形的直觀幫助，這中間體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．三角函數(shù)是又一種基

2、本初等函數(shù)，它作為描述周期變化現(xiàn)象的最常見、最基本的數(shù)學(xué)模型，不僅在高中數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，而且在其他領(lǐng)域中也具有廣泛的應(yīng)用．而任意角三角函數(shù)的概念又是整個(gè)三角函數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ)，所以它不僅是三角函數(shù)內(nèi)容的核心概念，同時(shí)在高中數(shù)學(xué)中還占有重要的地位．本節(jié)課將圍繞任意角三角函數(shù)的概念展開，任意角三角函數(shù)的定義是這節(jié)課的重點(diǎn)，能夠利用單位圓認(rèn)識(shí)該定義是解決教學(xué)重點(diǎn)的關(guān)鍵．二、教學(xué)目標(biāo)解析1．借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義：（1）能用直角坐標(biāo)系中角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)；（2）能用直角坐標(biāo)系中角的

3、終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)來表示任意角的三角函數(shù)；（3）知道三角函數(shù)是研究一個(gè)實(shí)數(shù)集（角的弧度數(shù)構(gòu)成的集合）到另一個(gè)實(shí)數(shù)集（角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)或其比值構(gòu)成的集合）的對(duì)應(yīng)關(guān)系，正弦、余弦和正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)．2．在借助單位圓認(rèn)識(shí)任意角三角函數(shù)的定義的過程中，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，并利用這一思想解決有關(guān)定義應(yīng)用的問題．三、教學(xué)問題診斷分析1．學(xué)生在理解用終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)障礙，原因是學(xué)生在此之前都是研究直角三角形中銳角的三角函數(shù)，并習(xí)慣了直觀地用有關(guān)邊長(zhǎng)

4、的比值來表示銳角三角函數(shù)．要克服這一困難，關(guān)鍵是幫助學(xué)生建立終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的比值與直角三角形有關(guān)邊長(zhǎng)的比值的聯(lián)系．2．學(xué)生在理解將終邊上任意一點(diǎn)取在終邊與單位圓的交點(diǎn)這一特殊位置上時(shí)，又可能會(huì)出現(xiàn)障礙，原因是他們可能會(huì)認(rèn)為這一特殊點(diǎn)不具有任意性．針對(duì)這一問題，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用相似三角形的知識(shí)來認(rèn)識(shí)，明白對(duì)于一個(gè)確定的角，其三角函數(shù)值也就唯一確定了，表示其三角函數(shù)的比值不會(huì)隨終邊上所取點(diǎn)的位置的改變而改變．3．學(xué)生在將用單位圓定義銳角三角函數(shù)推廣到定義任意角的三角函數(shù)時(shí)，還可能會(huì)出現(xiàn)障礙，主要原因還是受初中銳角三角函數(shù)定義的影響，仍然

5、局限在直角三角形中思考問題．要幫助學(xué)生克服這一困難，就要讓學(xué)生知道，借助單位圓，用終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)來表示三角函數(shù)，就是為了很好地解決在直角三角形中不能定義任意角的三角函數(shù)的問題，用單位圓統(tǒng)一定義三角函數(shù)，不僅沒有改變初中銳角三角函數(shù)定義的本質(zhì)，同時(shí)還能定義任意角的三角函數(shù)．四、教學(xué)支持條件分析為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義的理解，幫助學(xué)生克服在理解定義過程中可能遇到的障礙，本節(jié)課準(zhǔn)備在計(jì)算機(jī)的支持下，利用幾何畫板動(dòng)態(tài)地研究任意角與其終邊和單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，構(gòu)建有利于學(xué)生建立概念的“多元聯(lián)系表示”的教學(xué)情境，使學(xué)生能夠更好地?cái)?shù)

6、形結(jié)合地進(jìn)行思維．五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）教學(xué)基本流程復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)的定義認(rèn)識(shí)任意角三角函數(shù)的定義進(jìn)一步理解任意角三角函數(shù)的概念小結(jié)（二）教學(xué)情景1．復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)的定義問題1：在初中，我們已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)．如圖1，在直角△POM中，∠M是直角，那么根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，∠O的正弦、余弦和正切分別是什么？PMO圖1設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生回顧初中銳角三角函數(shù)的定義．師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生回答．2．認(rèn)識(shí)任意角三角函數(shù)的定義問題2：在上節(jié)教科書的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)將角的概念推廣到了任意角，現(xiàn)在所說的角可以是任意大小的正角、負(fù)角和

7、零角．那么任意角的三角函數(shù)又該怎樣定義呢？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生將銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)．師生活動(dòng)：在教學(xué)中，可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，利用下列問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考：（1）能不能繼續(xù)在直角三角形中定義任意角的三角函數(shù)？以此來引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)定義任意角的三角函數(shù)．如果學(xué)生仍然不能想到借助平面直角坐標(biāo)系來定義，那么可以進(jìn)一步提出下列問題來啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考：（2）在上節(jié)教科書中，將銳角的概念推廣到任意角時(shí)，我們是把角放在哪里進(jìn)行研究的？進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)定義任意角的三角函數(shù)．在此基礎(chǔ)上，組織學(xué)生討論：（3）如

8、圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，如何定義任意角α的三角函數(shù)呢？αyxOP圖2如果學(xué)生仍用直角三角形邊長(zhǎng)的比值來定義，則可以作下列引導(dǎo)：（4）終邊是OP的角一定是銳角嗎？如果不是，能利用直角三角形的邊長(zhǎng)來定義嗎？如圖3，如果角α的終邊不在第I象限又該怎么辦