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1、微積分與極限思想摘要:微積分從產(chǎn)生到定型成今天的形式,經(jīng)歷了三個不同的階段:以神秘的無窮小為基礎(chǔ)的牛頓和萊布尼茨階段;以動態(tài)的極限概念為基礎(chǔ)的柯西階段和以靜態(tài)的量的概念為基礎(chǔ)的...關(guān)鍵詞:微積分類別:專題技術(shù)來源:牛檔搜索(Niudown.COM) 本文系牛檔搜索(Niudown.COM)根據(jù)用戶的指令自動搜索的結(jié)果,文中內(nèi)涉及到的資料均來自互聯(lián)網(wǎng),用于學(xué)習(xí)交流經(jīng)驗,作品其著作權(quán)歸原作者所有。不代表牛檔搜索(Niudown.COM)贊成本文的內(nèi)容或立場,牛檔搜索(Niudown.COM)不對其付相應(yīng)的法律責(zé)任!微積分與極限思想數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院宋璞06205010微積分
2、學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它是一種數(shù)學(xué)思想,“無限細分”就是微分,“無限求和”就是積分。無限就是極限,極限的思想是微積分的基礎(chǔ),它是用一種運動的思想看待問題,其中充滿了深刻的辨證法。借助極限思想,人們可以從直線認(rèn)識曲線,從靜止認(rèn)識運動,從近似認(rèn)識精確,從有限認(rèn)識無限,從量變認(rèn)識質(zhì)變。極限思想是人類認(rèn)識水平進步的產(chǎn)物。認(rèn)識論不外乎可知論和不可知論??芍摵筒豢芍摰拿埽褪侵黧w理性的有限性和存在的無限性的矛盾,而解決這一矛盾的正是微積分理論的創(chuàng)始人:牛頓和萊布尼茨,是他們給人類帶來了有史以來最偉大的思想——極限思想,讓我們明白無窮逼近而又永遠無法達到,不僅是可能的而且
3、是現(xiàn)實的?!盁o窮逼近”是可知論的思想,“永遠達不到”是不可知論的思想。把極限引入哲學(xué),主體理性和存在之間的有限與無限的矛盾變成了充分融合的事實。微積分從產(chǎn)生到定型成今天的形式,經(jīng)歷了三個不同的階段:以神秘的無窮小為基礎(chǔ)的牛頓和萊布尼茨階段;以動態(tài)的極限概念為基礎(chǔ)的柯西階段和以靜態(tài)的量的概念為基礎(chǔ)的魏爾斯特拉斯階段。三個階段之間既有內(nèi)在聯(lián)系,又有認(rèn)識上的區(qū)別,是一個不斷發(fā)展和運動的歷史演變過程。這其中體現(xiàn)了一種唯物辯證法的科學(xué)方法論。公元前三世紀(jì),古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中,就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為
4、微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來說,早在古代就有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中,記有“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”。三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細,所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓周和體而無所失矣?!边@些都是樸素的、也是很典型的極限概念。法國數(shù)學(xué)家費爾馬在1637年的手稿《求最大值和最小值的方法》中提出了使用無限小量求極值點的方法,幾乎相當(dāng)于微分學(xué)中的方法,只是以符號代替了增量.微積分剛一形成,就在各個領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。但是另一方面,微積分的理論基礎(chǔ)還很不完善,特別是一些定理和公式的推導(dǎo),在邏輯上前后矛盾,不好理解,因此受到
5、非難和攻擊。這些矛盾集中體現(xiàn)在極限概念上,微積分的基礎(chǔ)是極限的理論,而牛頓和萊布尼茲的極限概念都是十分模糊的。牛頓在一些典型的推導(dǎo)過程中這樣認(rèn)為:第一步,他用了無窮小量作分母進行除法;第二步,他又把無窮小量看作零,去掉有關(guān)項,從而得到所要的公式。這些公式被證明是正確的,但是推導(dǎo)過程中卻顯示出邏輯上的自相矛盾。萊布尼茲也存在類似的問題。無窮小量是零還是非零呢?如果說是零,怎么能用它去作除法呢?如果它不是零,又怎么能把它去掉呢?這就是數(shù)學(xué)史上所說的無窮小悖論。英國哲學(xué)家、大主教貝克萊對微積分的攻擊最為激烈,他說無窮小量是“逝去的鬼魂”。在整個18世紀(jì),對于微積分運算的研究
6、具有一種“特殊的痛苦”,成為數(shù)學(xué)史上的第二次危機。數(shù)學(xué)家不得不認(rèn)真對待無窮小悖論,借以解除數(shù)學(xué)的第二次危機.18世紀(jì),羅賓斯、達朗貝爾與羅依里埃等人先后明確表示必須將極限作為微積分的基本概念,并都對極限作出各自的定義而首先用極限概念給出導(dǎo)數(shù)定義的是捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾,他把函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)定義為差商的極限,他強調(diào)指出不是兩個零的商,但關(guān)于極限的本質(zhì)他還是沒能說清楚。直到19世紀(jì)上半葉.法國數(shù)學(xué)家柯西研究了極限定義,詳細而又系統(tǒng)地發(fā)展了極限理論。,對微積分的一系列基本概念給出了明確的定義,在此基礎(chǔ)上,柯西嚴(yán)格地表述并證明了微積分基本定理、中值定理等一系列重要定理,定義了
7、級數(shù)的收斂性,研究了級數(shù)收斂的條件等,他的許多定義和論述已經(jīng)非常接近于微積分的現(xiàn)代形式??挛鞯墓ぷ髟谝欢ǔ潭壬铣吻辶宋⒎e分基礎(chǔ)問題上長期存在的混亂,向分析的全面嚴(yán)格化邁出了關(guān)鍵的一步。然而,柯西的理論只能說是“比較嚴(yán)格”,不久人們便發(fā)現(xiàn)柯西的理論實際上也存在漏洞。比如柯西定義極限為:“當(dāng)同一變量逐次所取的值無限趨向于一個固定的值,最終使它的值與該定值的差可以隨意小,那么這個定值就稱為所有其它值的極限”,其中“無限趨向于”、“可以隨意小”等語言只是極限概念的直覺的、定性的描述,缺乏定量的分析,這種語言在其它概念和結(jié)論中也多次出現(xiàn)。另外,微積分計算是在實