微積分——極限計算

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頁數(shù):56頁

時間:2018-10-19

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1、一、數(shù)列極限計算1.單調有界準則(掌握例題和習題)2.夾逼定理(掌握例題和習題)3.利用函數(shù)極限計算方法第四節(jié)極限的計算二、函數(shù)極限計算(一)一般極限計算利用代入法、復合函數(shù)極限計算方法和極限四則運算法則直接進行計算。:(1)上下同除最大項(抓大頭)(2)羅比達法則1.2.:(1)約零因子(基本方法)(2)分解因式(基本方法)(3)根式有理化(基本方法)(4)等價無窮小代換(重點、難點)(5)羅比達法則(重點)(6)三角變換(輔助方法)(7)變量替換(適當掌握)(二)未定式的計算3.:(1)根式有理化(2)通分4.:化為、5.(

2、1)化為(2)利用重要極限一、數(shù)列極限計算1.使用單調有界準則求極限步驟:(1)利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列“單調”、“有界”,從而證明極限存在;(2)利用求出極限。技巧:先猜測(數(shù)列的單調性和界),再證明。例求數(shù)列的極限.解:1.存在性令(1)單調性時設時時故對一切正整數(shù)有所以數(shù)列遞增.(2)有界性時時設時故對一切正整數(shù)有,所以數(shù)列有界.綜上所述,數(shù)列極限存在.(2)求值設將兩邊求極限得即故2.使用夾逼定理求極限方法:通過放縮,得到兩個“方便計算”且“極限相同”的數(shù)列。技巧:動小不動大。例求解因為且所以原式例求解因為且所以原式二、函

3、數(shù)極限計算(一)一般極限計算利用代入法、極限四則運算法則和復合函數(shù)極限計算方法直接進行計算。1.一些常見結果(1)極限不為零的因子可以分離單獨計算(2)極限存在的和式可以拆分單獨計算2.四則運算法則的靈活運用——分離常量:上下同除最大項(抓大頭)1.(二)未定式的計算例1求解原式例2求解原式或原式例3求解原式例4例5例6例7例8例求解原式2.:(1)約零因子(基本方法)例1求解原式(2)分解因式(基本方法)例2求解原式例1求解原式(3)根式有理化(基本方法)例2求原式(3)等價無窮小代換(重點、難點)若,在x的某變化過程下有〈Ⅰ

4、〉常見的等價無窮小則:〈Ⅱ〉代換原理1.尋找等價因子。2.判斷極限是否為零。3.代換為極限為零的?!储蟆荡鷵Q步驟例1例2例2例3例1注1:自變量的變化過程不影響代換?!储簟底⒁馐马椑?例3注2:不為零,不可代換。正解例4解錯無法替換注3:只換因子不換和差。并不等價例4解例1〈Ⅳ〉解題技巧技巧1:拆分、合并例2例3技巧2:提取因子(5)羅比達法則〈Ⅰ〉使用方法對于型求極限問題,有例1例2注1羅比達法則可以反復使用例1例2〈Ⅱ〉注意事項注2:羅比達法則可能失效例3極限不存在例3可見,羅比達法則失效。例4求解原式繼續(xù)下去,陷入循環(huán),羅

5、必塔法則失效.正解注3:羅比達法則最后再用例5在使用羅比達法則之前,應該先使用其他求極限的方法簡化極限函數(shù)式,“走投無路”時再使用“最后法寶”。過早使用羅比達法則往往會極大地增加函數(shù)式的復雜程度。(6)三角變換(輔助方法)例1例1(7)變量替換例1崩潰!例1例1求解原式3.(1)根式有理化(2)通分例2求解原式例1求解原式4.:化為、例2求解原式例1求解原式5.(1)化為例2求解原式例3求解原式(2)利用重要極限例4例5例6求解原式例6求另解原式例7求解原式

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