雙曲線的幾何性質(zhì)

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1、掌握雙曲線的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)．了解雙曲線的漸近性及漸近線的概念．掌握直線與雙曲線的位置關(guān)系．2.3.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【課標(biāo)要求】【核心掃描】雙曲線的幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用．(重點(diǎn))與雙曲線離心率，漸近線相關(guān)的問題．(難點(diǎn))經(jīng)常與方程、三角、平面向量、不等式等內(nèi)容結(jié)合考查學(xué)生分析問題的能力．1．2．3．1．2．3．雙曲線的幾何性質(zhì)自學(xué)導(dǎo)引標(biāo)準(zhǔn)方程(a＞0，b＞0)(a＞0，b＞0)圖形性質(zhì)焦點(diǎn)______________________________________焦距_________范圍

2、x

3、≥a，y∈R

4、y

5、≥

6、a，x∈R對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)______________________________________軸長(zhǎng)實(shí)軸長(zhǎng)＝___，虛軸長(zhǎng)＝___離心率e＝___(e＞1)漸近線________________續(xù)表F1(－c，0)、F2(c，0)F1(0，－c)、F2(0，c)

7、F1F2

8、＝2cA1(－a，0)、A2(a，0)A1(0，－a)、A2(0，a)2a2b試一試：嘗試用a，b表示雙曲線的離心率．(2)頂點(diǎn)：雙曲線與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫雙曲線的頂點(diǎn)，雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，相應(yīng)的線段叫實(shí)軸，實(shí)軸長(zhǎng)為2a.而虛

9、軸長(zhǎng)為2b，且a2＋b2＝c2.特別地當(dāng)2a＝2b時(shí)的雙曲線叫等軸雙曲線，方程為x2－y2＝a2或y2－x2＝a2.名師點(diǎn)睛把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.①當(dāng)b2－a2k2＝0時(shí)，直線l與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線C相交于一點(diǎn)．②當(dāng)b2－a2k2≠0時(shí)，Δ>0?直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)稱直線與雙曲線相交；Δ＝0?直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)稱直線與雙曲線相切；Δ<0?直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，此時(shí)稱直線與雙曲線相離．注意：直線和雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線不一定與

10、雙曲線相切，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)．題型一已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求其幾何性質(zhì)求雙曲線16x2－9y2＝－144的半實(shí)軸長(zhǎng)、半虛軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程．[思路探索]可先把方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，確定a，b，c，再求其幾何性質(zhì)．【例1】規(guī)律方法已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定其性質(zhì)時(shí)，一定要弄清方程中的a，b所對(duì)應(yīng)的值，再利用c2＝a2＋b2得到c，從而確定e.若方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式的先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，再確定a、b、c的值．求雙曲線x2－3y2＋12＝0的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)

11、坐標(biāo)、漸近線方程、離心率．【變式1】[思路探索]可設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，依題意建立待定參數(shù)的方程或方程組求解．題型二根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】規(guī)律方法根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般用待定系數(shù)法．首先，由已知判斷焦點(diǎn)的位置，設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用已知建立關(guān)于參數(shù)的方程求得．當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)不明確時(shí)，方程可能有兩種形式，此時(shí)應(yīng)注意分類討論，為了避免討論，也可設(shè)雙曲線方程為mx2－ny2＝1(mn>0)，從而直接求得．如本題中已知漸近線方程ax＋by＝0，可設(shè)所求雙曲線方程為a2x2－b2y2＝λ

12、(λ≠0)非常簡(jiǎn)捷．【變式2】訓(xùn)練655、雙曲線定義的應(yīng)用8、中位線定理的應(yīng)用審題指導(dǎo)本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系、向量知識(shí)及方程思想的應(yīng)用．題型三直線與雙曲線的位置關(guān)系【例3】【題后反思】直線與雙曲線相交的題目，一般先聯(lián)立方程組，消去一個(gè)變量，轉(zhuǎn)化成關(guān)于x或y的一元二次方程．要注意根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式的應(yīng)用．若與向量有關(guān)，則將向量用坐標(biāo)表示，并尋找其坐標(biāo)間的關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求解．【變式3】[錯(cuò)解]假設(shè)存在m過(guò)B與雙曲線交于Q1、Q2，且B是Q1Q2的中點(diǎn)，當(dāng)m斜率不存在時(shí)，顯然只與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)

13、；當(dāng)m斜率存在時(shí)，設(shè)m的方程為y－1＝k(x－1)，誤區(qū)警示忽略判別式的限制致誤【示例】對(duì)于圓、橢圓這種封閉的曲線，以其內(nèi)部一點(diǎn)為中點(diǎn)的弦是存在的，而對(duì)于雙曲線，這樣的弦就不一定存在，故求出k值后需用判別式判定此時(shí)直線是否與雙曲線有交點(diǎn)．[正解]假設(shè)存在直線m過(guò)B與雙曲線交于Q1、Q2，且B是Q1Q2的中點(diǎn)，當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，顯然只與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m的方程為y－1＝k(x－1)，關(guān)于中點(diǎn)的問題我們一般可以采用兩種方法解決：(1)聯(lián)立方程組，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行設(shè)而不解，從而

14、簡(jiǎn)化運(yùn)算解題；(2)利用“點(diǎn)差法”，求出與中點(diǎn)、斜率有關(guān)的式子，進(jìn)而求解．不管應(yīng)用何種方法我們都必須注意判別式Δ的限制．單擊此處進(jìn)入活頁(yè)規(guī)范訓(xùn)練