函數(shù)模型及其應用.doc

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1、函數(shù)模型及其應用典型例題(1)一次函數(shù)模型的應用例1某市一家報刊攤點，從報社進一種報紙的價格是每份0.20元，零售價是每份0.30元，賣不掉的報紙可以以每份0.05元的價格退給報社.在一個月(以30天計算)中，有20天每天可以售出400份報紙，其余10天每天只能售出250份，但每天從報社買進的份數(shù)必須相同.若攤主每天從報社買進x(250≤x≤400)份，寫出這個攤主這個月所獲利潤y(元)關于x的函數(shù)表達式；這個攤主每天從報社進多少份該報紙，才能使每月所獲利潤最大？分析：由于一個月內有10天售出的份數(shù)與另外20天售出的份數(shù)不同，因而所獲利

2、潤要分兩段計算，而每天進多少份使利潤最大則需結合函數(shù)的單調性分析．解：設每天從報社買進x()份，則每月共可銷售份，每份可獲利潤0.10元；退回報社份，每份虧損0.15元，則依題意，得，函數(shù)在上單調遞增，時，(元)．答：攤主每天從報社買進400份時，每月所獲得的利潤最大，最大利潤為825元．點評：解決實際問題的關鍵是仔細審題，弄清題意，分析條件和結論，理順數(shù)量關系，建立相應的數(shù)學模型，將實際問題轉化為數(shù)學問題加以解決．(2)二次函數(shù)模型的應用例2某市現(xiàn)有從事第二產(chǎn)業(yè)人員100萬人，平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值a萬元(a為正常數(shù))，現(xiàn)在決定從中分流

3、x萬人去加強第三產(chǎn)業(yè)，分流后，繼續(xù)從事第二產(chǎn)業(yè)的人員平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值可增加﹪(00，x>0，可解得．設該市第二、三產(chǎn)業(yè)的總產(chǎn)值增加萬萬元，則＝，且在上單調遞增，當x=50時，．答：在保證第二產(chǎn)值不減少的情況下，分流

4、出50萬人，才能使該市第二、三產(chǎn)業(yè)的總產(chǎn)值增加最多.點評：二次函數(shù)是我們比較熟悉的基本函數(shù)，建立二次函數(shù)模型可以求出函數(shù)的最值，解決實際中的最優(yōu)化問題，值得注意的是一定要注意自變量的取值范圍，利用二次函數(shù)配方法，通過對稱軸與單調性求解是這一類函數(shù)的基本方法．(3)指數(shù)函數(shù)模型的應用例3按復利計算利息的一種儲蓄，本金為元，每期利率為，設本利和為，存期為，寫出本利和隨存期變化的函數(shù)式．如果存入本金元，每期利率為，試計算期后的本利和是多少？分析：按復利計算利息的儲蓄，本質上是增長率問題．可以一期一期地推求．解：已知本金為元，期后的本利和為：．

5、期后的本利和為：．期后的本利和為：．由此推導，得期后的本利和為：．將，，代入上式，由計算器算得元．答：復利計算下本利和隨存期變化的函數(shù)式為，期后的本利和是元．點評：復利計息問題的實質是指數(shù)函數(shù)模型應用，單利計息問題為定義在整數(shù)集上的一次函數(shù)模型，解題時要加以區(qū)分．(4)冪函數(shù)模型的應用例41999年10月12日為“世界60億人口日”，提出了“人類對生育的選擇將決定世界未來”的主題，控制人口急劇增加的緊迫任務擺在我們的面前．(1)世界人口在過去40年內翻了一番，問每年人口平均增長率是多少？(2)我國人口在1998年底達到12.48億，若將

6、人口平均增長率控制在1%以內，我國人口在2008年底至多有多少億？以下數(shù)據(jù)供計算時使用：數(shù)N1.0101.0151.0171.3102.000對數(shù)lgN0.00430.00650.00730.11730.3010數(shù)N3.0005.00012.4813.1113.78對數(shù)lgN0.47710.69901.09621.11761.1392分析：增長率是指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)問題，利用已知條件，列出函數(shù)模型．解：(1)設每年人口平均增長率為x，n年前的人口數(shù)為y，則．由題意，當n=40時，y=30，即，，兩邊取對數(shù)，則40lg(1+x)=lg2，則

7、，,的x=1.7%．(2)依題意，，得，，故人口至多有13.78億．答：每年人口平均增長率為1.7%，2008年人口至多有13.78億.點評：此類增長率問題，在實際問題中常可以用指數(shù)函數(shù)模型(其中為基礎數(shù)，為增長率，為時間)和冪函數(shù)模型(其中為基礎數(shù)，為增長率，為時間)的形式．解題時，往往用到對數(shù)運算，要注意已知表格中給定的值對應求解．(5)對數(shù)函數(shù)模型例5測量地震級別的里氏是地震強度(即地震釋放的能量)的常用對數(shù)值，顯然級別越高，地震強度也越高．如日本1923年地震是級，舊金山1906年地震是級，1989年地震是級，試計算一下日本19

8、23年地震強度是級的幾倍？是級的幾倍？(參考數(shù)據(jù))分析：根據(jù)題意知，地震級別的里氏與地震強度之間滿足對數(shù)關系，可以根據(jù)地震級別求出地震強度，也可將地震強度的比轉化為對數(shù)進行運算．解：用、、分別表示級、級、級