用抽簽法解概率題

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1、用抽簽法解概率題張?zhí)N祿例1隨機地將15名新生平均分配到三個班中去，這15名新生有3名優(yōu)等生，試求（1）每一個班分到一名優(yōu)等生的概率.（2）這三名優(yōu)等生分到同一個班的概率.例28個籃球隊中有兩個強隊，先任意將這8個隊分成兩個組（每組4個隊）進行比賽，這兩個強隊被分在一個組內(nèi)的概率是多少？例1、例2類型的題目在教材和各種教輔資料中屢見不鮮，也是高中數(shù)學概率的一類重要題型,其解法也大都采用下面的解法.解：（例1）（1）每一個班分到一名優(yōu)等生的概率（2）這三名優(yōu)等生分到同一班的概率解一：（例2）把分組視為有序分組，則.解二：（例2）把分組視為無序

2、分組，則.以上解法涉及到了排列、組合的分組問題.分組問題一直是排列、組合的難點問題，有許多學生對有序分與無序分往往模糊不清.特別是對那些學習困難的學生更是難以理解.再加上即便是式子列對，式子的運算（例1）也是比較麻煩的.有一些學生會出現(xiàn)式子正確而結果錯誤的情況.為此，本文提供一種解決此類問題的簡單易行的方法——“抽簽法”.事實上，現(xiàn)實生活中的分組問題，諸如體育比賽中的分組問題，福利彩票中的抽獎問題,都是通過抽簽的方式完成的.采用抽簽法目的是使每個個體被抽到的概率相等.既然現(xiàn)實生活中的分組問題是通過抽簽來完成的，那么我們完全可以從抽簽的角

3、度來分析和解決此類問題.分析：例1中，15名新生需制作15個簽，其中一班、二班、三班各5個（比如一班1～5，二班6～10，三班11～15），這15名新生抽取15個簽，共有=15！種不同的抽取方法.（1）每一個班各有一名優(yōu)等生可采用如下的抽簽方法：第一名優(yōu)等生抽取，有15種抽取方法；第二名優(yōu)等生只能從10個簽中抽取，有10種（比如第一個抽到13，第二個只能從1～10中抽?。坏谌麅?yōu)等生只能從5個簽中抽取，有5種；剩余的12個人抽取12個簽有種.這樣每一個班各有一名優(yōu)等生的概率用同樣的方法可求出這三名優(yōu)等生分到同一個班的概率4解一(例1)：

4、15人抽簽有=15！種；（1）第一名優(yōu)等生抽取，有15種；第二名抽取，有10種；第三名抽取有5種；剩余12名抽取有12！種，于是每一個班各有一名優(yōu)等生的概率（2）第一名優(yōu)等生抽取，有15種；第二名抽取，有4種；第三名抽取，有3種；剩余12名抽取有12！種，于是三名優(yōu)等生分到同一個班的概率若僅考慮，這三名優(yōu)等生的抽簽方式可使運算更為簡便.解二(例1)：三名優(yōu)等生從15個簽中任抽3個，有種（1）第一名優(yōu)等生抽取，有15種；第二名抽取，有10種；第三名抽取有5種.于是每一個班各有一名優(yōu)等生的概率（2）第一名優(yōu)等生抽取，有15種；第二名抽取，有4

5、種；第三名抽取，有3種.于是三名優(yōu)等生分到同一個班的概率若用此法解例2，可得到兩個強隊分在一組內(nèi)的概率或.此種解法避開了分組問題的有序無序問題，一是運算簡便，二是便于操作.經(jīng)實驗，學習困難生完全可以掌握.不失為一個妙法.以下再舉一例。例316個國家足球隊中有中、日、韓3個亞洲求隊，抽簽分成甲、乙、丙、丁4個小組（每組4個隊），求（1）每個組中至多有1個亞洲球隊的概率？（2）3個亞洲球隊被分在同一組內(nèi)的概率？（3）中、韓被分在同一組，日本被分在另一組內(nèi)的概率？（4）其中有兩個亞洲球隊被分在一組，第三支亞洲球隊被分在另一組的概率？解：三個亞洲

6、球隊從16個簽中任抽3個，有種（1）第一個亞洲球隊抽簽，有16種；第二個亞洲球隊抽簽，有12種；第三個亞洲球隊抽簽，有8種；于是，每個組中至多有1個亞洲球隊的概率為4（2）第一個亞洲球隊抽簽，有16種；第二個亞洲球隊抽簽，有3種；第三個亞洲球隊抽簽，有2種；于是，3個亞洲球隊被分在同一組內(nèi)的概率為（3）中國隊抽簽，有16種；韓國隊抽簽，有3種；日本隊抽簽，有12種；于是，中、韓被分在同一組，日本被分在另一組內(nèi)的概率為（4）第一支亞洲球隊抽簽，有16種，第二支亞洲球隊抽簽時有兩種選擇，若從第一支亞洲球隊所在的組中抽取，有3種，此時第三支亞洲

7、球隊只能從該組以外的12個簽中抽取，有12種；第二個亞洲球隊若不與第一支亞洲球隊在一組，則有12種，此時第三支亞洲球隊只能從兩組中剩余的6個簽中抽取，有6種；于是，兩個亞洲球隊被分在一組，第三支亞洲球隊被分在另一組的概率為當然第（4）小題也可用來解決，筆者認為，抽簽法應盡量淡化排列、組合作用，否則學生容易出現(xiàn)概念不清的錯誤。運用抽簽法不僅可以解決有關分組問題中的概率問題，還可以解決其他類型的概率問題，下舉2例.例4．（2000年上海高考題）有紅、黃、藍三種顏色的旗幟各3面，在每種顏色的3面旗幟上分別有號碼1，2，3.現(xiàn)任意抽取3面，它們的

8、顏色與號碼均不相同的概率是.紅黃藍111222333解：9面旗幟抽3面，種；顏色和號碼均不同，可這樣抽，抽第一面，有9種；第二面只能從第一面剩余的行和列中抽取，有4種；同理，第三面有1種.于是