微積分產(chǎn)生社會(huì)背景和數(shù)學(xué)淵源

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1、1.微積分產(chǎn)生的社會(huì)背景和數(shù)學(xué)淵源微積分誕生在17世紀(jì)，主要來(lái)自政治，經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)的巨大推動(dòng)。16世紀(jì)，歐洲出現(xiàn)毛瑟槍和火槍——運(yùn)動(dòng)學(xué)，動(dòng)力學(xué)等的研究15世紀(jì)，商業(yè)、航海、天文、測(cè)量等日益繁榮——流體力學(xué)、天文學(xué)、幾何光學(xué)、天文儀器的發(fā)展數(shù)學(xué)家面臨問(wèn)題：求面積，求體積，求速度，求加速度，求行程等古時(shí)中國(guó)劉徽、祖沖之的割圓術(shù)求和希臘阿基米德等窮竭法求圓面積等，出現(xiàn)了極限和無(wú)窮小思想。17世紀(jì)初，微積分的鋪墊和前期準(zhǔn)備工程師S.Stevin(1548-1620)和意大利數(shù)學(xué)家Valerio(1552-1618)求水閘所受壓力●——積分思想的萌芽Kepler第

2、二行星定律中橢圓面積的計(jì)算●微分學(xué)的起源要比積分學(xué)起源晚得多●切線問(wèn)題與極值問(wèn)題2．Newton和leibniz的功績(jī)前期工作沒(méi)有通過(guò)無(wú)窮小量分析來(lái)定義導(dǎo)數(shù)和通過(guò)分割求和取極限來(lái)建立積分的明確概念，更未給出兩者之間的聯(lián)系。17世紀(jì)后半葉，Newton和Leibniz獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)意義上的微積分。IssacNewton(1642-1727)，英國(guó)大物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家。1642年，伽利略去世，Newton誕生在England的一個(gè)農(nóng)民家庭。1661年Newton入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，拜著名數(shù)學(xué)家巴羅（Barrow）為師，1669年，巴羅宣布Newton的學(xué)識(shí)水平已

3、超過(guò)自己，推薦27歲的Newton代替自己任“盧卡斯數(shù)學(xué)教授”。這是歷史上有名的巴羅讓賢。Newton受巴羅的“巴羅微分三角形”啟發(fā)發(fā)明微積分，所以巴羅在微積分發(fā)展史上功不可沒(méi)。Newton從1665年到1695年，對(duì)微積分的創(chuàng)造性成果為：★1665，“正流數(shù)術(shù)”——微分學(xué)；★1666，“反流數(shù)術(shù)”——積分學(xué)；★1666，“流數(shù)簡(jiǎn)論”——標(biāo)志微積分的誕生；★1669，“分析學(xué)”——由此后人稱以微積分為主要內(nèi)容的學(xué)科為數(shù)學(xué)分析★1671，“流數(shù)法”★1687，“自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理”——簡(jiǎn)稱“原理”★1691，“求積術(shù)”Newton求導(dǎo)（流數(shù)）的大概思想是：增量與之

4、比等于現(xiàn)令增量消失，它們的最終比為求的流數(shù)這段話用今天的微積分可改寫(xiě)成：然后令的導(dǎo)數(shù)（流數(shù)）為Newton的成果受到一片歡呼和歌頌。1727年，Newton因肺炎與痛風(fēng)去世。他遺留的手稿中，僅數(shù)學(xué)部分就有5000多頁(yè)。GottfriedWilhelmLeibniz(1646-1716),德國(guó)大數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家。生于萊比錫一個(gè)書(shū)香門(mén)第，幼年表現(xiàn)出超常才智。15歲考入萊比錫大學(xué)，1667年獲法學(xué)博士學(xué)位，次年任駐法大使，在巴黎生活了4年。20歲發(fā)表《論組合的藝術(shù)》的數(shù)學(xué)論文（使其成為“數(shù)理邏輯奠基人之一”）。Leibniz很多重大的成就包括微積分都是在巴黎的4年中完成

5、的。他在Paris的主要成果：★1675年給出積分號(hào)“”，同年引入微分號(hào)“d”★1676年給出公式，★1677年，表述微積分基本定理：★1684，“求極大與極小值和求切線的新方法”★1686，“深?yuàn)W的幾何與不可分量的無(wú)限的分析”3．第二次數(shù)學(xué)危機(jī)與微積分的發(fā)展和完善N-L的微積分邏輯基礎(chǔ)不嚴(yán)密，特別是在無(wú)窮小概念上的混亂，引起不少科學(xué)家的批評(píng)。英國(guó)哲學(xué)家、牧師G.Berkeley（1685-1753）：《分析學(xué)家，或致一位不信神的數(shù)學(xué)家》矛頭直指牛頓的流數(shù)法。———Berkeley悖論這就導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)由于微積分的方法和結(jié)論與實(shí)際是如此吻合，所以即使基礎(chǔ)不

6、牢，人們還是樂(lè)意去用它，直到19世紀(jì)，才開(kāi)始真正解決問(wèn)題。第一個(gè)為補(bǔ)救第二次數(shù)學(xué)危機(jī)提出真正有見(jiàn)地意見(jiàn)的是達(dá)朗貝爾（D’Alembert）。但他未提供理論。后經(jīng)Lagrange，Bolzano（捷克），Cauchy（分析學(xué)奠基人），Weirstrass（法）等人的努力，奠定了微積分嚴(yán)格的基礎(chǔ)，解決了第2次數(shù)學(xué)危機(jī)。Cauchy的貢獻(xiàn)在于將微積分的基礎(chǔ)建立在極限基礎(chǔ)上，Weirstrass的貢獻(xiàn)是建立了分析基礎(chǔ)的邏輯順序：實(shí)數(shù)系——極限論——微積分。微積分的誕生具有劃時(shí)代意義，是數(shù)學(xué)史上的分水嶺和轉(zhuǎn)折點(diǎn)，這個(gè)偉大發(fā)明的產(chǎn)生，使得數(shù)學(xué)明顯地不同于從古希臘繼承下來(lái)的舊

7、數(shù)學(xué)，舊數(shù)學(xué)是關(guān)于常量的數(shù)學(xué)，而新數(shù)學(xué)是關(guān)于變量的數(shù)學(xué)；舊數(shù)學(xué)是靜態(tài)的，新數(shù)學(xué)是動(dòng)態(tài)的，兩者的關(guān)系就象解剖學(xué)與生理學(xué)，前者研究死的軀體，后者研究活的身體，舊數(shù)學(xué)涉及的只是固定的和有限的，新數(shù)學(xué)包含了運(yùn)動(dòng)、變化和無(wú)限。BarrowLeibnizNewtonWeierstrassBolzanoCauchy