微積分產(chǎn)生的背景.doc

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1、微積分的創(chuàng)立者是牛頓和萊布尼茲嚴格微積分的奠基者是柯西和威爾斯特拉斯關于微積分的故事，曾經(jīng)一度迷惑著我，今天有幸弄清其中原委，以消心中疑云。微積分的萌芽可以追溯到古代的希臘、中國和印度，醞釀于17世紀的歐洲。1.牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分1.1牛頓的“流數(shù)術”牛頓(I.Newton,1642-1727)1642年生于英格蘭伍爾索普村的一個農(nóng)民家庭。1661年牛頓進入劍橋大學三一學院，受教于巴羅。笛卡兒的《幾何學》和沃利斯的《無窮算術》，這兩部著作引導牛頓走上了創(chuàng)立微積分之路。牛頓于1664年秋開始研究微積分問題，在家鄉(xiāng)躲避瘟疫期間取得了突破性進展。1666

2、年牛頓將其前兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文—《流數(shù)簡論》，這也是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻。在簡論中，牛頓以運動學為背景提出了微積分的基本問題，發(fā)明了“正流數(shù)術”（微分）；從確定面積的變化率入手通過反微分計算面積，又建立了“反流數(shù)術”；并將面積計算與求切線問題的互逆關系作為一般規(guī)律明確地揭示出來，將其作為微積分普遍算法的基礎論述了“微積分基本定理”。這樣，牛頓就以正、反流數(shù)術亦即微分和積分，將自古以來求解無窮小問題的各種方法和特殊技巧有機地統(tǒng)一起來。正是在這種意義下，牛頓創(chuàng)立了微積分。牛頓對于發(fā)表自己的科學著作持非常謹慎的態(tài)度。1687年，牛頓出版了

3、他的力學巨著《自然哲學的數(shù)學原理》，這部著作中包含他的微積分學說，也是牛頓微積分學說的最早的公開表述，因此該巨著成為數(shù)學史上劃時代的著作。而他的微積分論文直到18世紀初才在朋友的再三催促下相繼發(fā)表。1.2萊布尼茨的微積分工作萊布尼茨(W.Leibniz,1646-1716)出生于德國萊比錫一個教授家庭，青少年時期受到良好的教育。1672年至1676年，萊布尼茨作為梅因茨選帝侯的大使在巴黎工作。這四年成為萊布尼茨科學生涯的最寶貴時間，微積分的創(chuàng)立等許多重大的成就都是在這一時期完成或奠定了基礎。1684年，萊布尼茨整理、概括自己1673年以來微積分研究的成果，

4、在《教師學報》上發(fā)表了第一篇微分學論文《一種求極大值與極小值以及求切線的新方法》（簡稱《新方法》），它包含了微分記號以及函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分法則，還包含了微分法在求極值、拐點以及光學等方面的廣泛應用。1686年，萊布尼茨又發(fā)表了他的第一篇積分學論文，這篇論文初步論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關系，包含積分符號并給出了擺線方程：萊布尼茨對微積分學基礎的解釋和牛頓一樣也是含混不清的，有時他的是有窮量，有時又是小于任何指定的量，但不是零。1.3牛頓和萊布尼茲各自獨立創(chuàng)立了微積分牛頓和萊布尼茨就微積分的創(chuàng)立而言，盡管二者在背景、方法和形

5、式上存在差異、各有特色，但二者的功績是相當?shù)?。然而，一個局外人的一本小冊子卻引起了“科學史上最不幸的一章”：微積分發(fā)明優(yōu)先權的爭論。瑞士數(shù)學家德丟勒在這本小冊子中認為，萊布尼茨的微積分工作從牛頓那里有所借鑒，進一步萊布尼茨又被英國數(shù)學家指責為剽竊者。這樣就造成了支持萊布尼茨的歐陸數(shù)學家和支持牛頓的英國數(shù)學家兩派的不和，甚至互相尖銳地攻擊對方。這件事的結(jié)果，使得兩派數(shù)學家在數(shù)學的發(fā)展上分道揚鑣，停止了思想交換。在牛頓和萊布尼茨二人死后很久，事情終于得到澄清，調(diào)查證實兩人確實是相互獨立地完成了微積分的發(fā)明，就發(fā)明時間而言，牛頓早于萊布尼茨；就發(fā)表時間而言，萊布

6、尼茨先于牛頓?！拔⒎e分基本定理”也稱為牛頓—萊布尼茨定理，牛頓和萊布尼茨各自獨立地發(fā)現(xiàn)了這一定理。微積分基本定理是微積分中最重要的定理，它建立了微分和積分之間的聯(lián)系，指出微分和積分互為逆運算。2.嚴格微積分的奠基者：柯西和魏爾斯特拉斯2.1先驅(qū)的努力微積分學創(chuàng)立以后，由于運算的完整性和應用的廣泛性，使微積分學成了研究自然科學的有力工具。但微積分學中的許多概念都沒有精確的定義，特別是對微積分的基礎—無窮小概念的解釋不明確，在運算中時而為零，時而非零，出現(xiàn)了邏輯上的困境。多方面的批評和攻擊沒有使數(shù)學家們放棄微積分，相反卻激起了數(shù)學家們?yōu)榻⑽⒎e分的嚴格而努力。

7、從而也掀起了微積分乃至整個分析的嚴格化運動。18世紀，歐陸數(shù)學家們力圖以代數(shù)化的途徑來克服微積分基礎的困難，這方面的主要代表人物是達朗貝爾(d’Alembert,1717-1783)、歐拉和拉格朗日。達朗貝爾定性地給出了極限的定義，并將它作為微積分的基礎，他認為微分運算“僅僅在于從代數(shù)上確定我們已通過線段來表達的比的極限”；歐拉提出了關于無限小的不同階零的理論；拉格朗日也承認微積分可以在極限理論的基礎上建立起來，但他主張用泰勒級數(shù)來定義導數(shù),并由此給出我們現(xiàn)在所謂的拉哥朗日中值定理。歐拉和拉格朗日在分析中引入了形式化觀點，而達朗貝爾的極限觀點則為微積分的嚴

8、格化提供了合理內(nèi)核。微積分的嚴格化工作經(jīng)過近一個世紀的嘗試，到19