各向異性諧振子的能級簡并.doc

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1、各向異性諧振子的能級簡并劉永宏指導(dǎo)教師：焦志蓮（太原師范學(xué)院物理系，太原030031）【摘要】給出了二維、三維各向異性諧振子的能級及波函數(shù)，并討論各種情況下二維、三維各向異性諧振子的能級簡并問題。【關(guān)鍵詞】各向異性諧振子，能級，波函數(shù)，能級簡并。0.引言各向同性諧振子的能級簡并問題，很多量子力學(xué)教材都進行了討論，譬如：曾謹言寫的《量子力學(xué)導(dǎo)論》就對各向同性諧振子作了詳細而深刻的分析。但是對于各向異性諧振子的問題，則很少有教材中進行專門的討論。各向異性諧振子有其獨特的能級簡并和對稱性，且在一定的近似條件下，可轉(zhuǎn)變?yōu)楦飨蛲灾C振子來處理。所

2、以對于各向異性諧振子的能級簡并研究，既能進一步加深對各向同性諧振子的理解和應(yīng)用，同時又能為學(xué)習(xí)和探究更深層次的各向異性諧振子奠定基礎(chǔ)。本文先給出二維，三維各向異性諧振子的能級及波函數(shù)，然后討論相應(yīng)各向異性諧振子的能級簡并度問題。1.各向異性諧振子的能級及波函數(shù)1.1二維各向異性諧振子的能量及波函數(shù)當(dāng)各向異性諧振子為二維情況時，體系哈密頓量在坐標系中可以表示為（1）令（2）求解哈密頓本征值方程，可以得體系能量及波函數(shù)的表示為（3）（4）其中，各維波函數(shù)為（5）（6）1.2三維各向異性諧振子的能量及波函數(shù)在三維空間中，三維諧振子的哈密頓量為

3、（7）令（8）由三維諧振子體系哈密頓量的本征值方程，可以求出的體系哈密頓量的本征值及相應(yīng)的本征值函數(shù)為(9)（10）其中，的具體表示與（5）、（6）式完全相同，方向的波函數(shù)為(11)2各向異性諧振子的能級簡并一般情況下，各向異性諧振子的能級并不簡并。以下我們分別就二維、三維諧振子情況，對能級簡并進行了討論。2．1二維各向異性諧振子的能級簡并能級所對應(yīng)的量子狀態(tài)只有一個，即態(tài)，可以用（）表示這個能態(tài)。由（3）式可知，當(dāng)滿足一定關(guān)系時，能級有可能出現(xiàn)簡并。設(shè)存在另一組態(tài)（），其能量與相等，即（12）令，下面對各種情況進行討論。2．1．1為有

4、理數(shù)的情形當(dāng)為有理數(shù)時，可以表示為（13）式中為不可約正整數(shù)，將（13）式代入（12）式得（14）由于（）的取值均可為0，1，2，，因此，要使（14）式成立有三種可能情形：（1），的情況（15）即，（16）由于，可得，其中表示這個數(shù)的整數(shù)部分。于是（）有個可能的組態(tài)滿足（12）式。（2），的情況(17)即，（18）由于，可得，表示這個數(shù)的整數(shù)部分（下面的類似表示也代表同樣的意義）。于是（）還有個可能的組態(tài)也滿足（12）式。（3），的情況這種情況下只有一組能態(tài)，即能級所對應(yīng)的量子狀態(tài)只有一個，即態(tài)。綜合上述三種情況，當(dāng)為有理數(shù)時，（）的可

5、能組態(tài)個數(shù)共有++1。（19）它們均滿足（12）式和（14）式，它們的能量均為，所以此能級的簡并度就是，由此可見，二維各向異性諧振子的能級簡并與參量有關(guān)。2．1．2為無理數(shù)的情形當(dāng)為無理數(shù)時，要使（12）式成立，必然要求：即由此還可以得到。這就說明，當(dāng)為無理數(shù)時，不可能存在另一組態(tài)（），使其能量也為，即能量是非簡并的。2．2三維各向異性諧振子的能級簡并三維各向異性諧振子能級，所對應(yīng)的量子狀態(tài)只有一個，即態(tài)，可以用（）表示這個能態(tài)。根據(jù)（9）式，當(dāng)滿足一定關(guān)系時，能級有可能出現(xiàn)簡并，設(shè)存在另一組態(tài)（），其能量與相等，即（20）即（21）令

6、，，下面對各種情形下的能級簡并進行討論。2．2．1的情況當(dāng)時，（21）式簡化為：（22）對于這種情形，體系能級簡并度與二維諧振子能級簡并討論完全相同，在這里面就不再累述。但是，需要注意時，三維諧振子體系并非轉(zhuǎn)化為二維諧振子，此時只是三維諧振子體系哈密頓量轉(zhuǎn)化為（23）與二維各向異性諧振子哈密頓量（1）式比較，相差一項，即此時三維諧振子體系在軸方向只有動能部分，不存在勢能作用。2．2．2的情形當(dāng)時，，（21）式變?yōu)椋海?4）（1）當(dāng)（）-（）=0時，得這種情況下只有一組能態(tài)，即能級所對應(yīng)的量子狀態(tài)只有一個，即態(tài)。（2）當(dāng)（）-（）0時，（

7、24）化簡為（25）下面就的各種取值情形下的能級簡并進行討論。（一）為有理數(shù)的情形當(dāng)為有理數(shù)時，可以表示為（26）式中為不可約正整數(shù)，將（26）式代入（25）式得：（27）由于（）的取值均可為0，1，2，，因此，要使（27）式成立有兩種可能的情形如下：（1）的情形在此情況下，（27）式為（28）由于，可得到（29）（30）由（29）式可以得到（31）由于，由（31）式得：（32）又由于，所以對于（30）式的討論又有以下三種情況：（），情況令：，則由（30）式可得（33）由于，可得：，即（34）所以由（32）與（34）式聯(lián)立得：，于是（）

8、有個可能的組態(tài)滿足（28）式。（），情況令：，則由（30）式可得（35）由于本身大于零。所以可取任意正整數(shù)，由（32）式可知（）有個可能的組態(tài)滿足（28）式。（），情況令：，則由（30）式可得（36）由于，