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《高等數(shù)學(xué) 微分方程復(fù)習(xí).doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第四章微分方程4.1方程分類與解法4.1.1一階，可分離變量方程l一階變量分離方程l齊次方程令，，4.1.2一階線性非齊次方程齊次方程通解標(biāo)準(zhǔn)形通解伯努利方程令得4.1.3特殊二階方程降階法l微分方程接連積分n次，便得到微分方程的含有n個(gè)任意常數(shù)的通解。l令則l令則l首次積分方法若則稱為方程0的首次積分。這樣就把原方程降了一階。特別地，二階的就變成一階方程了。4.1.4二階（高階）線性常系數(shù)方程1．線性方程解的結(jié)構(gòu)理論定理1（疊加原理）設(shè)是齊次方程的解，則它們的線性組合也是齊次方程的解，其中是任意常數(shù)。定理2
2、設(shè)是非齊次方程的一個(gè)解，16是對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，則也是非齊次方程的解，其中是任意常數(shù)。定理3（二階齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)）設(shè)和是方程（3）的兩個(gè)線性無關(guān)特解，則（是任意常數(shù)）是方程（3）的通解。對(duì)于二階非齊次線性微分方程（4）有如下的定理。定理4（二階非齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)）設(shè)是方程（4）的一個(gè)特解，和是方程（4）對(duì)應(yīng)的齊次線性方程（3）的兩個(gè)線性無關(guān)解，則(5)是方程（4）的通解。2．齊次方程特征方程綜上所述，求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解的步驟如下：第一步寫出微分方程的特征方程第二步求出特
3、征方程的兩個(gè)根。第三步根據(jù)特征方程兩個(gè)根的不同情形，按照下列表格寫出微分方程（3）的通解特征方程的兩個(gè)根微分方程的通解兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)相等的實(shí)根一對(duì)共軛復(fù)根對(duì)于高階常系數(shù)齊次線性微分方程可以根據(jù)下表給出的特征方程的根寫出對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的解如下：特征方程的根微分方程通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)單實(shí)根給出一項(xiàng)16一對(duì)單復(fù)根k重實(shí)根k重復(fù)根給出兩項(xiàng)給出k給出k項(xiàng)：項(xiàng)給出2k項(xiàng)：＋3．非齊次方程其通解是其中是對(duì)應(yīng)齊次方程的解，是非齊次方程的解。特解k是特征根的重復(fù)次數(shù)，特解k是特征根的重復(fù)次數(shù)。4．歐拉方程令或，則，，…
4、若引入微分算子符號(hào)，則上述結(jié)果可簡記為，…一般地4.2解法選例4.2.1基本題目類例1解首先觀察此類方程：一階，可分離變量，代入初值16故例2解首先觀察此類方程：一階，線性非齊次方程。例3令，，則，例4解例5解觀察：一階，齊次方程令代入方程消去得整理積分將代入得代入初值整理。例6解（1）令代入方程16或（舍不符合初值）積分即代初值代初值解（2）代初值，代初值例7填空a方程通解為（）b方程的通解為（））c方程的通解為（）d方程的通解為（4.2.2綜合題目類例8設(shè)于上可導(dǎo)，，且其反函數(shù)為，若，求。解對(duì)求導(dǎo)，即，故
5、，即。例9于上可導(dǎo)。且滿足（1）求（2）證明當(dāng)時(shí)。解求導(dǎo)則16代初值得又故即。例10有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，且滿足，求。解（注意到,）代入初值，積分，代初值得，則例11已知是方程的一個(gè)特解，求方程通解。解設(shè)也是方程的解，代入方程有整理取，，則。故是方程通解例12求解歐拉方程（1）；（2）。解（1）令則16特征方程為則。（2）令則特征方程：不是特征根，故設(shè)特解代入方程，則方程通解。例13求解方程解此方程是全微分方程。因?yàn)槠湓瘮?shù)（勢(shì)函數(shù)）即方程為或解則即是方程的解。例14已知是二階線性齊次方程的解，試建立此方程解線性無
6、關(guān)，則是方程的通解（1）又（2）（3）聯(lián)立（1）（3）求，代入（2）整理得16例15設(shè)，是的兩個(gè)解，求值。解是解，則是特征根，是解，則是特征根，且是二重根。特征方程為即，比較原特征方程得。也可以將代入方程得；將代入方程得，從而，。例16已知的三個(gè)特解為試求特解。解非齊次方程的任兩個(gè)特解之差是齊次方程特解，故是齊次方程的解，且線性無關(guān)，故是非齊次方程通解。代入初值，則從而特解為。4.3微分方程應(yīng)用問題解題總的步驟（1）分析題意建立方程（2）依題意寫出初始條件（3）識(shí)別方程類型解方程4.3.1幾何問題例1設(shè)曲線過
7、點(diǎn)，曲線上任一點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，若16（是原點(diǎn)），求的方程。解1.列方程切線方程為令的（＝OT）
8、PT
9、＝，由整理得2．結(jié)合初值條件得初值問題3．方程是齊次方程令代入方程消去得整理積分將代入得代入初值整理。例2設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)，且，。過曲線上任一點(diǎn)作切線及軸的垂線，上述兩條直線與軸所圍成的三角形的面積記為，區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形的面積記為，且，求曲線。解在點(diǎn)處的切線方程為它與軸的交點(diǎn)為，由知，于是16又，由得由此知，上式兩端對(duì)求導(dǎo)并化簡得令，則方程變形為由，即，故有解得代入初始條件得，即于是代入初始條件，得
10、故所求曲線為。例3位于坐標(biāo)原點(diǎn)的我艦向位于點(diǎn)處的敵艦發(fā)射制導(dǎo)魚雷，設(shè)魚雷永遠(yuǎn)對(duì)準(zhǔn)敵艦，已知敵艦航速為。在直線上行駛，魚雷速度為。求魚雷航跡曲線。又?jǐn)撑炐旭偠噙h(yuǎn)時(shí)被魚雷擊中？解如圖，設(shè)時(shí)刻魚雷行至點(diǎn)，敵艦至T點(diǎn)，則。。以下求
11、AT
12、。過點(diǎn)P的切線方程為，令，（＝AT）故得方程：求導(dǎo)整理得解方程：將代入16（即平方：）代入初值故當(dāng)，擊中。小結(jié)：用幾何關(guān)系建立方程4.3.2物理問題例4物理問題從船上向海中
