可轉(zhuǎn)債期權(quán)定價(jià)模型

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1、可轉(zhuǎn)債期權(quán)定價(jià)模型（二叉樹模型）業(yè)務(wù)說明1、可轉(zhuǎn)換公司債券定價(jià)的理論基礎(chǔ)可轉(zhuǎn)換公司債券可以近似的看作是普通債券與股票期權(quán)的組合體。首先，可轉(zhuǎn)換公司債券的持有者可以按照債券上約定的轉(zhuǎn)股價(jià)格，在轉(zhuǎn)股期間內(nèi)行使轉(zhuǎn)股權(quán)利，這實(shí)際相當(dāng)于以轉(zhuǎn)股價(jià)格為期權(quán)執(zhí)行價(jià)格的美式買權(quán)，一旦市場價(jià)格高于期權(quán)執(zhí)行價(jià)格，債券持有者就可以行使美式買權(quán)從而獲利。其次，由于發(fā)行人在可轉(zhuǎn)換公司債券的贖回條款中規(guī)定如果股票價(jià)格連續(xù)若干個(gè)交易日高于某一贖回啟動(dòng)價(jià)格（該贖回啟動(dòng)價(jià)要高于轉(zhuǎn)股價(jià)格），發(fā)行人有權(quán)按一定金額予以贖回。所以，贖回條款相當(dāng)于債券持有人在購買可轉(zhuǎn)換公司債券時(shí)就無條件出售給發(fā)行人的一張美式買權(quán)

2、。當(dāng)然，發(fā)行人期權(quán)存在的前提是債券持有人的期權(quán)還未執(zhí)行，如果債券持有人實(shí)施轉(zhuǎn)股，發(fā)行人的贖回權(quán)對該投資者也歸于無效。第三，還有可轉(zhuǎn)換債券中的回售條款規(guī)定，如果股票價(jià)格連續(xù)若干個(gè)交易日收盤價(jià)低于某一回售啟動(dòng)價(jià)格（該回售啟動(dòng)價(jià)要低于轉(zhuǎn)股價(jià)格），債券持有人有權(quán)按一定金額回售給發(fā)行人。所以，回售條款相當(dāng)于債券持有人同時(shí)擁有發(fā)行人出售的一張美式賣權(quán)。綜上所述，可轉(zhuǎn)換公司債券相當(dāng)于這樣一種投資組合：投資者持有一張與可轉(zhuǎn)債相同利率的普通債券，一張數(shù)量為轉(zhuǎn)換比例、期權(quán)行使價(jià)為初始轉(zhuǎn)股價(jià)格的美式買權(quán)，一張美式賣權(quán)，同時(shí)向發(fā)行人無條件出售了一張美式買權(quán)。所以，可轉(zhuǎn)換公司債券的價(jià)值可以用以

3、下公式近似表示：可轉(zhuǎn)換公司債券價(jià)值≈純粹債券價(jià)值+期權(quán)價(jià)值2、二叉樹法理論（BinomialTheroy）根據(jù)衍生證券定價(jià)的二叉樹法理論（BinomialTheroy），我們把衍生證券的有效期分為很多很小的時(shí)間間隔?t，假設(shè)在每一個(gè)時(shí)間段內(nèi)股票價(jià)格從開始的S運(yùn)動(dòng)到兩個(gè)新值和中的一個(gè)。一般情況下u>1，d<1，因此S到是價(jià)格“上升”運(yùn)動(dòng)，S到是價(jià)格“下降”運(yùn)動(dòng)。價(jià)格上升的概率假設(shè)是P，下降的概率則為1—P。當(dāng)時(shí)間為0時(shí)，股票價(jià)格為S；時(shí)間為?t時(shí)，股票價(jià)格有兩種可能：和；時(shí)間為2?t時(shí)，股票價(jià)格有三種可能：、和，以此類推，圖1給出了股票價(jià)格的完整樹圖。在i?t時(shí)刻，股票

4、價(jià)格有i+1種可能，它們是：Su1-PSPSdSd2SSu2，j=0,1,…..,i??????圖1：股票價(jià)格變動(dòng)二叉樹圖期權(quán)價(jià)格的計(jì)算是從樹圖的末端（時(shí)刻T）向后倒推進(jìn)行的。T時(shí)刻期權(quán)的價(jià)值是已知的。例如一個(gè)買權(quán)的價(jià)值為max（ST—X，0），而一個(gè)賣權(quán)價(jià)值為max（X—ST，0），其中ST是T時(shí)刻的股票價(jià)格，X是執(zhí)行價(jià)格。由于世界是風(fēng)險(xiǎn)中性的，T-?t時(shí)刻每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的期權(quán)價(jià)值都可以由T時(shí)刻期權(quán)價(jià)值的期望值用利率r貼現(xiàn)求得。同樣，T-2?t時(shí)刻的每個(gè)節(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值可由T-?t時(shí)刻的期望值利用利率r貼現(xiàn)求得，以此辦法向后倒推通過所有的節(jié)點(diǎn)就可得到0時(shí)刻的期權(quán)價(jià)值。如果

5、期權(quán)是美式的，則檢查二叉樹的每個(gè)節(jié)點(diǎn)，以確定提前執(zhí)行是否比將期權(quán)再持有?t時(shí)間更有利。在這里我們假設(shè)世界是風(fēng)險(xiǎn)中性的并利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，可以求出以上各個(gè)參數(shù)的數(shù)值，其計(jì)算公式為：其中：r為無風(fēng)險(xiǎn)利率；指可轉(zhuǎn)債對應(yīng)股票價(jià)格每年波動(dòng)率；?t期權(quán)有效期的時(shí)間間隔；u指二叉樹圖中股票價(jià)格向上運(yùn)動(dòng)的幅度；d指二叉樹圖中股票價(jià)格向下運(yùn)動(dòng)的幅度；可以驗(yàn)證，在極限情況下，即?t→0時(shí)，這種股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)的二叉樹模型將符合幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型。因此，股票價(jià)格二叉樹模型就是股票價(jià)格連續(xù)時(shí)間模型的離散形式。計(jì)算示例（一）假設(shè)前提1、利率期限結(jié)構(gòu)是平坦的。2、現(xiàn)金紅利支付為零3、不考慮違約風(fēng)險(xiǎn)

6、對可轉(zhuǎn)換公司債券收益的影響4、公司理性地執(zhí)行它的贖回期權(quán)（二）模型中各參數(shù)的確定1、實(shí)際上，r通常選擇為等于衍生證券到期日相同的零息票債券的收益率；因此，理論上說，中國財(cái)政部最近一期發(fā)行的三年期國債的收益率為最佳的選擇。最近所發(fā)憑證式3年期國債利率為2.42%，我們最終選擇2.4%作為無風(fēng)險(xiǎn)利率r。2、指可轉(zhuǎn)債對應(yīng)股票價(jià)格每年波動(dòng)率，其計(jì)算公式為：股價(jià)年波動(dòng)率（StockPriceVolatility）=每交易日股價(jià)波動(dòng)率×一般來說，數(shù)據(jù)越多，估計(jì)的精度越高。但是，太過長遠(yuǎn)的歷史數(shù)據(jù)對預(yù)測可能作用不大。實(shí)踐中通常使用最近90天到180天的每日股票收盤價(jià)格。（具體算法參

7、見B-S模型的需求文檔）。3、某公司發(fā)行期限為9個(gè)月的可轉(zhuǎn)換公司債券，債券面值為100，債券可以在存續(xù)期內(nèi)的任何時(shí)刻轉(zhuǎn)換為2股公司股票，也可以在任何時(shí)刻以115元的價(jià)格贖回?？赊D(zhuǎn)債發(fā)行時(shí)，公司股票價(jià)格為50元，股票波動(dòng)率為30％。市場無風(fēng)險(xiǎn)收益曲線為水平，年收益率為10％。該公司債券的收益率曲線也為水平，收益率為15％。（1）投資人美式買權(quán)價(jià)值的計(jì)算設(shè)定計(jì)算步長為1年，將下列數(shù)據(jù)代入公式，可求得以下參數(shù)：5011.59%A104.8558.0911.09%116.18B43.03C13.51%98.0067.4910%134.98D37.0F15%9