函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中任意性和存在性問(wèn)題探究.doc

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1、..函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中任意性和存在性問(wèn)題探究命題人：閆霄審題人：馮昀山一、相關(guān)結(jié)論：結(jié)論1：；結(jié)論2：；結(jié)論3：；結(jié)論4：；結(jié)論5：；【如圖一】結(jié)論6：；【如圖二】結(jié)論7：；【如圖三】結(jié)論8：；【如圖四】結(jié)論9：的值域和的值域交集不為空；結(jié)論10：的值域是的值域的子集【例題1】：已知兩個(gè)函數(shù);(1)若對(duì),都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若,使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若對(duì),都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；解：（1）設(shè),（1）中的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：時(shí)，恒成立，即。；當(dāng)變化時(shí)，的變化情況列表如下：-3(-3,-1

2、)-1(-1,2)2(2,3)3(x)+0－0+h(x)k-45增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)k-9因?yàn)?所以，由上表可知，故k-45≥0，得k≥45,即k∈[45,+∞).小結(jié)：①對(duì)于閉區(qū)間I，不等式f(x)k對(duì)x∈I時(shí)恒成立[f(x)]min>k,x∈I.②此題常見(jiàn)的錯(cuò)誤解法：由[f(x)]max≤[g(x)]min解出k的取值范圍.這種解法的錯(cuò)誤在于條件“[f(x)]max≤[g(x)]min”只是原題的充分不必要條件，不是充要條

3、件，即不等價(jià).（2）根據(jù)題意可知，（2）中的問(wèn)題等價(jià)于h(x)=g(x)－f(x)≥0在x∈[-3,3]時(shí)有解,故[h(x)]max≥0...由（1）可知[h(x)]max=k+7，因此k+7≥0，即k∈[-7,+∞).(3)根據(jù)題意可知，（3）中的問(wèn)題等價(jià)于[f(x)]max≤[g(x)]min，x∈[-3,3].由二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得,x∈[-3,3]時(shí),[f(x)]max=120－k.仿照（1），利用導(dǎo)數(shù)的方法可求得x∈[-3,3]時(shí),[g(x)]min=－21.由120－k≥－21得k≥14

4、1,即k∈[141,+∞).說(shuō)明：這里的x1,x2是兩個(gè)互不影響的獨(dú)立變量.從上面三個(gè)問(wèn)題的解答過(guò)程可以看出,對(duì)于一個(gè)不等式一定要看清是對(duì)“x”恒成立，還是“x”使之成立，同時(shí)還要看清不等式兩邊是同一個(gè)變量，還是兩個(gè)獨(dú)立的變量,然后再根據(jù)不同的情況采取不同的等價(jià)條件,千萬(wàn)不要稀里糊涂的去猜..【例題2】：(2010年山東理科22)已知函數(shù);(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，若對(duì)，,使，求實(shí)數(shù)的取值范圍；解：（1）（解答過(guò)程略去，只給出結(jié)論）當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1，

5、+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)a=時(shí)，函數(shù)f(x)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)0

6、0,2）上的最小值f(1)=－”.（※）又g(x)=(x－b)2+4－b2,x∈[1,2],所以①當(dāng)b<1時(shí)，因?yàn)閇g(x)]min=g(1)=5－2b>0,此時(shí)與（※）矛盾；②當(dāng)b∈[1,2]時(shí),因?yàn)閇g(x)]min=4－b2≥0，同樣與（※）矛盾；③當(dāng)b∈（2，+∞）時(shí)，因?yàn)閇g(x)]min=g(2)=8－4b.解不等式8－4b≤－，可得b≥.綜上，b的取值范圍是[,+∞).二、相關(guān)類(lèi)型題：類(lèi)型一：直接求最值（往往需帶參討論）例3：..類(lèi)題：例4：類(lèi)題：..類(lèi)型二：分離常數(shù)法求最值例5：類(lèi)題：.

7、.例6：類(lèi)題：..類(lèi)型三：先進(jìn)行變形簡(jiǎn)化，再求最值例7：類(lèi)題：類(lèi)型四：分離常數(shù)法+羅比達(dá)法則洛必達(dá)法則簡(jiǎn)介：法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿(mǎn)足下列條件：(1)及；　　(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；　　(3)，那么=。法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿(mǎn)足下列條件：(1)及..；　　(2)，f(x)和g(x)在與上可導(dǎo)，且g'(x)≠0；　　(3)，那么=。法則3若函數(shù)f(x)和g(x)滿(mǎn)足下列條件：(1)及；　　(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)

8、≠0；　　(3)，那么=。利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意：將上面公式中的x→a，x→∞換成x→+∞，x→-∞，，洛必達(dá)法則也成立。洛必達(dá)法則可處理，，，，，，型。在著手求極限以前，首先要檢查是否滿(mǎn)足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)。當(dāng)不滿(mǎn)足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱(chēng)洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。例8：(2010年全國(guó)