函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中任意性和存在性問題探究

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1、.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中任意性和存在性問題探究命題人：閆霄審題人：馮昀山一、相關(guān)結(jié)論：結(jié)論1：；結(jié)論2：；結(jié)論3：；結(jié)論4：；結(jié)論5：；【如圖一】結(jié)論6：；【如圖二】結(jié)論7：；【如圖三】結(jié)論8：；【如圖四】結(jié)論9：的值域和的值域交集不為空；結(jié)論10：的值域是的值域的子集【例題1】：已知兩個函數(shù);(1)若對,都有成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若,使得成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若對,都有成立，求實數(shù)的取值范圍；解：（1）設(shè),（1）中的問題可轉(zhuǎn)化為：時，恒成立，即。；當變化時，的變化情況列表如下：-3(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)

2、3(x)+0－0+h(x)k-45增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)k-9因為,所以，由上表可知，故k-45≥0，得k≥45,即k∈[45,+∞).小結(jié)：①對于閉區(qū)間I，不等式f(x)k對x∈I時恒成立[f(x)]min>k,x∈I.②此題常見的錯誤解法：由[f(x)]max≤[g(x)]min解出k的取值范圍.這種解法的錯誤在于條件“[f(x)]max≤[g(x)]min”只是原題的充分不必要條件，不是充要條件，即不等價.（2）根據(jù)題意可知，（2）中的問題等價于h(

3、x)=g(x)－f(x)≥0在x∈[-3,3]時有解,故[h(x)]max≥0.由（1）可知[h(x)]max=k+7，因此k+7≥0，即k∈[-7,+∞).(3)根據(jù)題意可知，（3）中的問題等價于[f(x)]max≤[g(x)]min，x∈[-3,3]....由二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得,x∈[-3,3]時,[f(x)]max=120－k.仿照（1），利用導(dǎo)數(shù)的方法可求得x∈[-3,3]時,[g(x)]min=－21.由120－k≥－21得k≥141,即k∈[141,+∞).說明：這里的x1,x2是兩個互不影響的獨立變量.從上面三

4、個問題的解答過程可以看出,對于一個不等式一定要看清是對“x”恒成立，還是“x”使之成立，同時還要看清不等式兩邊是同一個變量，還是兩個獨立的變量,然后再根據(jù)不同的情況采取不同的等價條件,千萬不要稀里糊涂的去猜..【例題2】：(2010年山東理科22)已知函數(shù);(1)當時，討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，當時，若對，,使，求實數(shù)的取值范圍；解：（1）（解答過程略去，只給出結(jié)論）當a≤0時，函數(shù)f(x)在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增；當a=時，函數(shù)f(x)在（0，+∞）上單調(diào)遞減；當0

5、1），；（2）函數(shù)的定義域為（0，+∞），（x）=－a+=－，a=時，由（x）=0可得x1=1,x2=3.因為a=∈（0,），x2=3（0,2）,結(jié)合（1）可知函數(shù)f(x)在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,2）上單調(diào)遞增，所以f(x)在（0,2）上的最小值為f(1)=－.由于“對x1∈（0,2），x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2)”等價于“g(x)在[1,2]上的最小值不大于f(x)在（0,2）上的最小值f(1)=－”.（※）又g(x)=(x－b)2+4－b2,x∈[1,2],所以①當b<1時，因為[g(x)]min=g(1

6、)=5－2b>0,此時與（※）矛盾；②當b∈[1,2]時,因為[g(x)]min=4－b2≥0，同樣與（※）矛盾；③當b∈（2，+∞）時，因為[g(x)]min=g(2)=8－4b.解不等式8－4b≤－，可得b≥.綜上，b的取值范圍是[,+∞).二、相關(guān)類型題：類型一：直接求最值（往往需帶參討論）例3：...類題：例4：類題：...類型二：分離常數(shù)法求最值例5：類題：...例6：類題：類型三：先進行變形簡化，再求最值例7：...類題：類型四：分離常數(shù)法+羅比達法則洛必達法則簡介：法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及

7、；　　(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；　　(3)，那么=。法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；　　(2)，f(x)和g(x)在與上可導(dǎo)，且g'(x)≠0；　　(3)，那么=。法則3若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及...；　　(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；　　(3)，那么=。利用洛必達法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點之一，在解題中應(yīng)注意：將上面公式中的x→a，x→∞換成x→+∞，x→-∞，，洛必達法則也成立。洛必達法則可處理，，，

8、，，，型。在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達法則會出錯。當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。例8：(20