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1、冪函數(shù)2017屆數(shù)學(xué)組問(wèn)題引入(1)如果回收舊報(bào)紙每公斤1元,某班每年賣(mài)舊報(bào)紙x公斤,所得價(jià)錢(qián)y是關(guān)于x的函數(shù)(2)如果正方形的邊長(zhǎng)為x,面積y,這里y是關(guān)于x的函數(shù);(3)如果正方體的邊長(zhǎng)為x,正方體的體積為y,這里y是關(guān)于x函數(shù);(4)如果一個(gè)正方形場(chǎng)地的面積為x,這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為y,這里y是關(guān)于x的函數(shù);(5)如果某人x秒內(nèi)騎車(chē)行駛了1km,他騎車(chē)的平均速度是y,這里y是關(guān)于x的函數(shù).我們先看幾個(gè)具體問(wèn)題:1:以上各題目的函數(shù)關(guān)系分別是什么?2:以上問(wèn)題中的函數(shù)具有什么共同特征?y=xα一、冪函數(shù)的定義注意1、冪函數(shù)
2、的解析式必須是y=xα的形式,同時(shí)滿(mǎn)足“系數(shù)為1,底數(shù)是自變量x且指數(shù)為常數(shù)”.2、定義域與α的關(guān)系.一般地,函數(shù)y=xα叫做冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù).基本初等函數(shù)名稱(chēng)底數(shù)指數(shù)指數(shù)函數(shù):y=ax冪函數(shù):y=xαaxx冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對(duì)比判斷一個(gè)函數(shù)是冪函數(shù)還是指數(shù)函數(shù)切入點(diǎn)看看自變量x是指數(shù)還是底數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)α1.判斷下列函數(shù)是否為冪函數(shù).(1)y=2x(3)y=1(5)y=3x2(6)y=x3-22.若冪函數(shù)y=f(x)的圖象過(guò)點(diǎn),則函數(shù)的解析式為_(kāi)_________在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出冪函數(shù)y=x,y
3、=x2,y=x3,y=x1/2,y=x-1的圖象.二、冪函數(shù)的圖像及性質(zhì)x-3-2-10123y=x29410149x-3-2-10123y=x3-27-8-101827x0124012x-3-2-1123-1/3-1/2-111/21/3(-∞,0)減(-∞,0]減(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)公共點(diǎn)(0,+∞)減增增[0,+∞)增增單調(diào)性奇非奇非偶奇偶奇奇偶性[0,+∞)R[0,+∞)R值域[0,+∞)RRR定義域y=x-1y=x3y=x2y=x函數(shù)性質(zhì)常見(jiàn)冪函數(shù)的性質(zhì)在第一象限內(nèi),函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)
4、與指數(shù)有什么關(guān)系?在第一象限內(nèi),當(dāng)α>0時(shí),圖象隨x增大而上升。當(dāng)α<0時(shí),圖象隨x增大而下降不管指數(shù)是多少,圖象都經(jīng)過(guò)哪個(gè)定點(diǎn)?在第一象限內(nèi),當(dāng)α>0時(shí),圖象隨x增大而上升。當(dāng)α<0時(shí),圖象隨x增大而下降。圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)α>0時(shí),圖象還都過(guò)點(diǎn)(0,0)點(diǎn)冪函數(shù)的性質(zhì):1.所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義,并且函數(shù)圖象都通過(guò)點(diǎn)(1,1);冪函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性,因函數(shù)式中α的不同而各異.3.如果α<0,則冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,1),并在(0,+∞)上為減函數(shù);α<02.如果α>0,則冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,0
5、),(1,1)并在[0,+∞)上為增函數(shù);α>10<α<1當(dāng)α為偶數(shù)時(shí),冪函數(shù)為偶函數(shù)4.當(dāng)α為奇數(shù)時(shí),冪函數(shù)為奇函數(shù)練習(xí)1:如果函數(shù)是冪函數(shù)且在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù),求滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)m。練習(xí)2:如圖所示,曲線是冪函數(shù)y=xk在第一象限內(nèi)的圖象,已知k分別取四個(gè)值,則相應(yīng)圖象依次為:________一般地,冪函數(shù)的圖象在直線x=1的右側(cè),大指數(shù)在上,小指數(shù)在下(指大圖高),在y軸與直線x=1之間正好相反。例:利用單調(diào)性判斷下列各值的大小。(1)5.20.8與5.30.8(2)-0.20.3與-0.30.3(3)0.83
6、.5與0.83.4(4)練習(xí)1)2)3)4)<<>≤小結(jié)1、冪函數(shù)的定義2、冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)形如y=xα(α為常數(shù))的函數(shù)叫做冪函數(shù).3、冪值比較在第一象限內(nèi)α>0時(shí)圖象在(0,+∞)上為增函數(shù);α<0時(shí)圖象在(0,+∞)上為減函數(shù);過(guò)定點(diǎn)(1,1)(1)底數(shù)不同,指數(shù)相同,考慮冪函數(shù);(2)底數(shù)相同,指數(shù)不同,考慮指數(shù)函數(shù);(3)底數(shù)指數(shù)都不同,引入中間值。成功始于方法鞏固才能提高