線段和差的最值問(wèn)題教案

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1、線段和差的最值問(wèn)題解題策略單人棋2014年10月兩條線段和的最小值兩點(diǎn)之間，線段最短線段和差的最值問(wèn)題解題策略兩條線段差的最大值三角形兩邊之差小于第三邊當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到E時(shí)，PA＋PB最小當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到F時(shí)，QD－QC最大線段和差的最值問(wèn)題解題策略當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到E時(shí)，PA＋PB最小當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到F時(shí)，QD－QC最大第一步，尋找、構(gòu)造幾何模型第二步，計(jì)算一、求兩條線段之和的最小值例1：在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90O，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB上的一動(dòng)點(diǎn)，則EC+ED的最小值為。ACBDEp例2：△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，試

2、在AB上找一點(diǎn)P，在BC上取一點(diǎn)M，使CP+PM的值最小，并求出這個(gè)最小值。ABCPMC/例1、例2中的最小值問(wèn)題，所涉及到的路徑，雖然都是由兩條線段連接而成，但是路徑中的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的個(gè)數(shù)不同，例1中的路徑為“定點(diǎn)→動(dòng)點(diǎn)→定點(diǎn)”，是兩個(gè)定點(diǎn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，而例2中的路徑是“定點(diǎn)→動(dòng)點(diǎn)→動(dòng)點(diǎn)”，是一個(gè)定點(diǎn)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以兩個(gè)題的解法有較大差異，例1是根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求動(dòng)點(diǎn)的位置，例2是根據(jù)垂線段最短找兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的位置。規(guī)律總結(jié)二、求三角形周長(zhǎng)的最小值例3：已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(3，-2)，且在x軸上截得的線段AB的長(zhǎng)為4，在y軸上有

3、一點(diǎn)P，使△APC的周長(zhǎng)最小，求P點(diǎn)坐標(biāo)。ACBA/OP例4：拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-4，3)，B(2，0)，當(dāng)x=3和x=-3時(shí)，這條拋物線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0，-2）的直線a與x軸平行。（1）求直線AB和拋物線，（2）設(shè)直線AB上點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-1，P(m，n)是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△POD的周長(zhǎng)最小時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)。2010?南通）已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-4，3）、B（2，0）兩點(diǎn)，當(dāng)x=3和x=-3時(shí)，這條拋物線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等．經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-2）的直線l與x軸平行，O為坐標(biāo)原點(diǎn)

4、．（1）求直線AB和這條拋物線的解析式；（2）以A為圓心，AO為半徑的圓記為⊙A，判斷直線l與⊙A的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）設(shè)直線AB上的點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-1，P（m，n）是拋物線y=ax2+bx+c上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PDO的周長(zhǎng)最小時(shí)，求四邊形CODP的面積．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：（1）用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；根據(jù)“當(dāng)x=3和x=-3時(shí)，這條拋物線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等”可知：拋物線的對(duì)稱軸為y軸，然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)可求出半徑OA的長(zhǎng)，然后判斷A到直線l的

5、距離與半徑OA的大小關(guān)系即可；（3）根據(jù)直線AB的解析式可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到OD的長(zhǎng)，由于OD的長(zhǎng)為定值，若△POD的周長(zhǎng)最小，那么PD+OP的長(zhǎng)最小，可過(guò)P作y軸的平行線，交直線l于M；首先證PO=PM，此時(shí)PD+OP=PD+PM，而PD+PM≥DM，因此PD+PM最小時(shí)，應(yīng)有PD+PM=DM，即D、P、M三點(diǎn)共線，由此可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)；此時(shí)四邊形CODP是梯形，根據(jù)C、O、D、P四點(diǎn)坐標(biāo)即可求得上下底DP、OC的長(zhǎng)，而梯形的高為D點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值由此可求出四邊形CODP的面積．解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+

6、b，則有：?4k+b＝32k+b＝0，解得k＝?12b＝1；∴直線AB的解析式為y=-12x+1；由題意知：拋物線的對(duì)稱軸為y軸，則拋物線經(jīng)過(guò)（-4，3），（2，0），（-2，0）三點(diǎn)；設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-2）（x+2），則有：3=a（-4-2）（-4+2），a=14；∴拋物線的解析式為：y=14x2-1；（2）易知：A（-4，3），則OA=42+32=5；而A到直線l的距離為：3-（-2）=5；所以⊙A的半徑等于圓心A到直線l的距離，即直線l與⊙A相切；（3）過(guò)D點(diǎn)作DM∥y軸交直線于點(diǎn)M交拋

7、物線于點(diǎn)P，則P（m，n），M（m，-2）；∴PO2=m2+n2，PM2=（n+2）2；∵n=14m2-1，即m2=4n+4；∴PO2=n2+4n+4=（n+2）2，即PO2=PM2，PO=PM；易知D（-1，32），則OD的長(zhǎng)為定值；若△PDO的周長(zhǎng)最小，則PO+PD的值最?。?∵PO+PD=PD+PM≥DM，∴PD+PO的最小值為DM，即當(dāng)D、P、M三點(diǎn)共線時(shí)PD+PM=PO+PD=DM；此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-1，代入拋物線的解析式可得y=14-1=-34，即P（-1，-34）；∴S四邊形CPDO=12（CO

8、+PD）×

9、xD

10、=12×（2+32+34）×1=178．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、直線與圓的位置關(guān)系、圖形面積的求法等知識(shí)，還涉及到解析幾何中拋物線的相關(guān)知識(shí)，能力要求極高，難度很大．ABOCDPABO