模糊集合的一般概念

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1、第一章模糊集合的一般概念§1序言模糊數(shù)學(xué)是研究和處理模糊現(xiàn)象的科學(xué)。模糊現(xiàn)象：大雨、中雨、小雨、多云、收成好、壞、高個(gè)子。由于歷史原因，人們習(xí)慣追求精確性，總希望把事物以數(shù)字的形式清楚的表達(dá)出來(lái)。而對(duì)模糊現(xiàn)象用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)遇到實(shí)質(zhì)性的困難。計(jì)算機(jī)：處理計(jì)算、解方程。處理模糊現(xiàn)象較差。模糊概念來(lái)自模糊現(xiàn)象，模糊性是絕對(duì)的、精確性是相對(duì)的，精確性是對(duì)不精確性的一種分離，這種分離是具有一定意義的，使人們能夠?qū)δ承┦挛镞M(jìn)行嚴(yán)格定量的表示，建立數(shù)學(xué)模型。隨著科學(xué)的深化，研究對(duì)象越來(lái)越復(fù)雜化，數(shù)學(xué)模型的復(fù)雜化，模糊性逐漸積

2、累，變的不可忽略。精確性和模糊性變成一個(gè)突出的矛盾。加利福尼亞大學(xué)L.A.Zadeh(扎德)總結(jié)出互克性原理：“隨著系統(tǒng)復(fù)雜性的增加，我們對(duì)其復(fù)雜性作出精確而有意義的描述能力相應(yīng)地降低，直到達(dá)到一個(gè)閾值，一旦超過(guò)它，精確性和有意義性幾乎成為兩個(gè)相互排斥的特征?！笨陀^世界的模型不確定性集合論由德國(guó)數(shù)學(xué)家Cantor創(chuàng)立，其創(chuàng)造集合論的重要方法之一就是概括原則：任給一個(gè)性質(zhì)P，便能把所有滿足性質(zhì)P的對(duì)象匯在一起，構(gòu)成一個(gè)集合，即：Cantor集合論要求對(duì)象是確定的。要么具有性質(zhì)P，要么不具有性質(zhì)P。形成一個(gè)二值邏

3、輯。處理沒(méi)有明確外延的概念，不能構(gòu)成Cantor集合，沒(méi)有明確外延的概念就是模糊概念。例：“禿子悖論”公設(shè)：若具有n(n是任意自然數(shù))根頭發(fā)的人是禿子，則具有n+1根頭發(fā)的人亦禿?；谶@個(gè)公設(shè)，可以證明禿頭悖論，任何人都是禿頭。證明：采用數(shù)學(xué)歸納法，（1）僅有一根頭發(fā)的人自然是禿頭；（2）假設(shè)n根頭發(fā)的人是禿頭；（3）由公設(shè)便知有n+1根頭發(fā)的人亦禿；（4）由歸納法原理得出結(jié)論：任何人都是禿頭。原因在于：把一個(gè)二值邏輯推理用到一個(gè)二值邏輯所不能施行的判斷上去。量變蘊(yùn)涵質(zhì)變，量變不能用“真”“假”兩個(gè)字來(lái)刻畫(huà)。

4、“真”——1，“假”——0，二值邏輯把真假絕對(duì)化。對(duì)模糊概念用1~0不夠。用1到0連續(xù)變化表示真假程度。Cantor集合：論域U，集合A，元素uFuzzy集合：Fuzzy的發(fā)展：1965年，Zadeh提出。應(yīng)用于理、工、農(nóng)、醫(yī)、社會(huì)科學(xué)。日本：家電。中國(guó)：理論80年代出引入。1984，85，87，90年在中國(guó)舉行會(huì)議本課內(nèi)容：模糊集合的一般概念模糊關(guān)系模糊關(guān)系方程模糊推理模糊控制教材：模糊集合論及其應(yīng)用，汪培莊§2普通集合論的回顧論域：被討論的全體對(duì)象叫做論域。U、V、X、Y‥‥元素：論域中的每個(gè)對(duì)象叫元素。

5、u、v、x、y、z‥‥集合：論域中某一部分元素的全體叫做U的一個(gè)集合。A、B、C‥‥集合的表示方法：A={u1,u2,…un}枚舉法A={u

6、…}

7、后是對(duì)u的一種解釋。例：設(shè)A,B是U是的兩個(gè)集合，若都有：A叫做B的子集。若且，則A,B相等，A=B。對(duì)任意集合?？占翰话琔的任何元素的集合，叫空集φ：冪集：U的一切子集所構(gòu)成的集合類(lèi)P(U)例：U={B,W}P(U)={{B,W},{B},{W},Ф}定義1.1：設(shè)De-Morgan定律：集合的性質(zhì)：定義1.2：記分別稱為集合族的并集與交集。①T={1,2}

8、定義1.2同定義1.1②T={1,2…n}n個(gè)集合的并③T={1,2…n…}可數(shù)個(gè)集合的并（其中T為指標(biāo)集）易證：若稱集合單調(diào)遞增（降）。記叫集序列的極限。定義1.3記稱為B對(duì)A的差集，稱A減B。定義1.4記稱A與B的對(duì)稱差。映射：記號(hào)f：U→Vu

9、→f(u)表示f從U到V的一個(gè)映射。U：f的定義域，記叫f的值域。若f(U)=V稱f是從U到V的滿射。若對(duì)任意總有稱f是單射或一一映射。若f既是單射又是滿射，則稱f是從U到V的一一對(duì)應(yīng)。特征函數(shù)：任給，確定了從U到{0，1}的映射叫A的特征函數(shù)。圖２.1特征函數(shù)圖

10、任一從U到{0，1}的映射?，都唯一確定了一個(gè)子集：A的特征函數(shù)u處的值叫做u對(duì)A的隸屬度?！?模糊子集的定義及運(yùn)算定義1.5：所謂給定了論域U上的一個(gè)模糊子集，是指對(duì)任意,都指定了一個(gè)數(shù)，叫做u對(duì)的隸屬程度。映射叫做的隸屬函數(shù)。模糊子集完全由其隸屬函數(shù)所刻畫(huà)。當(dāng)?shù)闹涤?{0，1}時(shí)。變成普通集合的特征函數(shù)。蛻變成一個(gè)普通子集。記U上全體模糊子集所構(gòu)成的類(lèi)為F(U)，有當(dāng)時(shí)，叫真模糊子集，此時(shí)至少存在一元素，使例：U={a,b,c,d,e}對(duì)每一個(gè)元素指定一個(gè)隸屬度,，，，，模糊子集，圓塊塊這一模糊概念在U上

11、的表現(xiàn):bcde二、模糊集合的表示方法1)離散的有限集：如例：設(shè)U={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，表示“接近5的整數(shù)”的模糊子集，則：2)序偶表示法：如3)函數(shù)表示法連續(xù)情況:例：以年齡作為論域，取U=[0，200]，Zadeh給出年輕和年老兩個(gè)模糊集的隸屬函數(shù)三、定義1.6集合的運(yùn)算（并、交、補(bǔ)）例：集合的運(yùn)算可擴(kuò)展到無(wú)限個(gè)集合：對(duì)一族實(shí)數(shù)記當(dāng)T為有限集：在兩種情況下：模糊集的并、