模糊集合的模糊程度模糊熵

模糊集合的模糊程度模糊熵

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資源描述:

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1、四、模糊集合的模糊程度——模糊熵四、模糊集合的模糊程度——模糊熵A的模糊熵E(A),在單位超立方體In中從0到1,其中頂點(diǎn)的熵為0,表明不模糊,中點(diǎn)的熵為1,是最大熵。從頂點(diǎn)到中點(diǎn),熵逐漸增大。簡(jiǎn)單地從幾何圖形上來考慮可以得到熵的比例形式:熵是一個(gè)一般性的概念,它度量了一個(gè)系統(tǒng)或一段信息的不確定性。模糊熵描述了一個(gè)模糊集的模糊性程度。一般的定義[1]:(1)分明集是不模糊的,則分明集的模糊熵為0;(2)[1/2]是隸屬性最難確認(rèn)的模糊集,[1/2]的模糊性應(yīng)最大(3)模糊集A與距[1/2]的1遠(yuǎn)近程度是相同的,則要求A與的模

2、糊程度一樣(4)模糊集A的模糊性應(yīng)具有單調(diào)變化的性質(zhì),即A越接近[1/2],A的模糊性越大;A越遠(yuǎn)離[1/2],A的模糊性越小。四、模糊集合的模糊程度——模糊熵模糊熵定理:模糊熵定理的幾何圖示。由對(duì)稱性,完整模糊方形的四個(gè)點(diǎn)到各自的最近頂點(diǎn)、最遠(yuǎn)頂點(diǎn)的距離都相等。該定理正式宣告了“西方邏輯”的終止。()四、模糊集合的模糊程度——模糊熵k>0是常數(shù)很多文章是用這個(gè)定義來求模糊熵另外的一種定義(類似于信息論中熵的定義)四、模糊集合的模糊程度——模糊熵五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理主導(dǎo)隸屬度函數(shù)關(guān)系(dominatedme

3、mbershipfunctionrelationship):如果A=(.30.7)和B=(.4.7.9),那么A就是B的一個(gè)模糊子集,但B不是A的模糊子集。顯然,這種模糊包含度是非模糊的,它是非黑即白的,是二值定義下的子集性(Zadeh’s1965)。1.模糊子集的幾何表示B的所有模糊子集構(gòu)成集合——模糊冪集F(2B),它構(gòu)成了在單位超立方體中倚著原點(diǎn)的規(guī)則的超長(zhǎng)方形,其邊寬等于各隸屬度值mB(xi)??梢杂肔ebesgue測(cè)度或體積V(B)來度量F(2B)的大小,其中,體積V(B)為隸屬度值的乘積:五、模糊集合間的包含關(guān)系

4、——包含度定理圖7.72.包含度定理:在圖7.7中,點(diǎn)A可以是長(zhǎng)方形內(nèi)的點(diǎn),也可以不是。在長(zhǎng)方形F(2B)外不同的點(diǎn)A是B的不同程度的子集。而上述二值定義下的子集性忽略了這一點(diǎn)??紤]到集合A屬于F(2B)的不同程度,通過抽象隸屬度函數(shù)來定義包含度:S(.,.)在[0,1]之間取值,其代表了多值的子集測(cè)度(包含度),是模糊理論中的基本的、標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)構(gòu)。五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理度量S(.,.)的兩種方法:(1)代數(shù)方法:即失配法(fit-violationstrategy)假定X包含有100個(gè)元素:X={x1,…,x

5、100}。而只有第一個(gè)元素違背了主導(dǎo)隸屬度函數(shù)關(guān)系,使得mA(x1)>mB(x1)。直觀上,我們認(rèn)為A很大程度上是B的子集??梢怨浪?,子集性為S(A,B)=0.99,并且,如果X包括1兆個(gè)元素,A幾乎完全是B的子集了??梢娛涞姆萴A(x1)-mB(x1)越大,失配的數(shù)目相對(duì)于模糊集A的大小越多,那么A就越不能算是B的子集,或者說,A就越象是B的超集。直觀上有:五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理失配數(shù)的計(jì)算:?max(0,mA(x)-mB(x))歸一化之后得到超集的最小度量:包含度為:五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度

6、定理這種包含度滿足主導(dǎo)隸屬度函數(shù)關(guān)系,當(dāng)時(shí),S(A,B)=1。如果S(A,B)=1,則分子被加數(shù)應(yīng)都為0,因此主導(dǎo)隸屬度函數(shù)關(guān)系都滿足。反之,當(dāng)且僅當(dāng)B是空集時(shí),S(A,B)=0。而空集本來就無法包含集合,無論是模糊集還是非模糊集。在這兩種極端情況之間,包含度的大小為:0

7、2B)時(shí),S(A,B)應(yīng)接近于1,當(dāng)A遠(yuǎn)離F(2B)時(shí),S(A,B)應(yīng)該減小。那么A與F(2B)之間的距離如何計(jì)算?五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理圖7.7尋找B*(A位于F(2B)外):通過F(2B)邊線的直線延伸,將超立方體In分割成2n個(gè)超長(zhǎng)方形。他們分為混合的或是純的主值隸屬度。非子集A1,A2,A3,分別位于不同的象限。通過F(2B)與A1,A3的范數(shù)距離,分別找到與西北和東南象的點(diǎn)A1,A3距離最近的點(diǎn)B1*和B3*。而離東北象限中的點(diǎn)A2距離最近的點(diǎn)B*就是B自身。由此可證得一般性勾股定理。且這種“正交”

8、優(yōu)化情況表明d(A,B)就是lp直角三角形的斜邊。五、模糊集合間的包含關(guān)系——包含度定理以B為中心的l1范數(shù)區(qū)域呈鉆石形。A1和A2到F(2B)等距,但A1比A2離B更近。而同時(shí),M(A1)>M(A2)??梢?,包含度依賴于基數(shù)M(A)。考慮歸一化,進(jìn)一步猜測(cè):定義超集度為:d(A,F(2B

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