關(guān)于極限運(yùn)算的探索【文獻(xiàn)綜述】

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1、畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)關(guān)于極限運(yùn)算的探索一、國內(nèi)外古代極限思想在屮M古代數(shù)學(xué)史上，無限思想（極限的最初雛形）占有非常重要的地位。很多竹學(xué)思想無不滲透著極限的光輝思想。著名的莊子一書中有言：一尺之棰，日取其半，而萬世不竭。從中就可體現(xiàn)出我國早期對數(shù)學(xué)中無窮的認(rèn)識水平。而我國第一個創(chuàng)造性地將無窮思想運(yùn)用到數(shù)學(xué)中，且運(yùn)用相當(dāng)自如的是魏晉吋期著名數(shù)學(xué)家劉徽。他提出用增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)來逼近圓的割圓術(shù)。公元前三世紀(jì)，數(shù)學(xué)之祌希臘數(shù)學(xué)家阿基米德所運(yùn)用的窮竭法已備近代極限理論的雛形。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派

2、關(guān)于不可公度U的發(fā)現(xiàn)，以及在關(guān)于數(shù)與無限這兩個概念的定義屮就已經(jīng)孕育了微積分學(xué)的關(guān)于無窮的思想方法。柏拉圖和德謨兌利特學(xué)派探索過無窮小量觀念等等.第二次數(shù)學(xué)危機(jī)有力地推動了極限理論的發(fā)展，其源于微增量相關(guān)的一類計(jì)算。經(jīng)過一個多世紀(jì)的漫漫征程，幾代數(shù)學(xué)家，包括達(dá)朗W爾、拉格朗日、W努力家族、拉普拉斯以及集眾家之大成的歐拉等人的努力，數(shù)量驚人前所未有的處女地被開墾出來，微積分理論獲得了空前豐富。法國著名數(shù)學(xué)家柯西的研宄使分析基礎(chǔ)嚴(yán)密化的工作14前邁出了第一大步，在柯西的努力下，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、

3、無窮級數(shù)的和等概念建立在了較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上。不過，在當(dāng)時情況下，巾于實(shí)數(shù)的嚴(yán)格理論未建立起來，所以柯西的極限理論還不可能完善?？挛髦?，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經(jīng)過自己獨(dú)立深入的研究，都將分析基礎(chǔ)歸結(jié)為實(shí)數(shù)理論，并于七十年代各自建立了自己完整的實(shí)數(shù)體系。由此，沿柯西開辟的道路，建立起來的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限理論與實(shí)數(shù)理論，完成了分析學(xué)的邏輯奠基工作。數(shù)學(xué)分析的無矛盾性問題歸納為實(shí)數(shù)論的無矛盾性，從而使微積分學(xué)建在了牢固可靠的基礎(chǔ)之上。極限的思想A法貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終?？梢哉f數(shù)學(xué)分析中的幾乎所有的

4、概念都離不開極限。在幾乎所有的數(shù)學(xué)分析著作中，都是先介紹函數(shù)理論和極限的思想方法，然后利用極限的思想方法給出連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、級數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲而積分的概念。極限思想方法是數(shù)學(xué)分析乃至全部《等數(shù)學(xué)必不可少的一種重要方法,也是數(shù)學(xué)分析與初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別之處。數(shù)學(xué)分析之所以能解決許多初等數(shù)學(xué)無法解決的問題（例如求瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體體積等M題），正是由于它采川丫極限的思想方法。極限法揭示了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)?一關(guān)

5、系，是唯物辯證法的對立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域屮的應(yīng)用。極限理論在現(xiàn)代數(shù)學(xué)乃至物理等學(xué)科屮有廣泛的應(yīng)用，這是由它本身同有的思維功能所決定的。借助極限法，人們可以從有限認(rèn)識無限，從不變認(rèn)識變，從直線形認(rèn)識曲線形,從姒變認(rèn)識質(zhì)變，從近似認(rèn)識準(zhǔn)確。無限與有限有本質(zhì)的不同，但二者又有聯(lián)系，無限是有限的發(fā)展。無限個數(shù)目的和不是一般的代數(shù)和，把它定義力部分和的極限，就是借助極限法，從有限認(rèn)識無限。變與不變反映了事物運(yùn)動變化與相對靜止兩種不同狀態(tài),但它們在一定條件下又可相互轉(zhuǎn)化,這種轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)科學(xué)的有力杠桿之一。例如

6、，求變速直線運(yùn)動的瞬時速度,這時速度是變量，為此人們先在小范

7、韋

8、內(nèi)用勻速代替變速,并求其平均速度，把瞬時速度定義為平均速度的極限，就是借助極限法，從不變認(rèn)識變。曲線形與直線形有本質(zhì)的差異，但在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化，善于利用這種對立統(tǒng)一關(guān)系是處理數(shù)學(xué)問題的重要手段之一.直線形的面積容易求得，要求曲線形的面積，只用初等的方法就不行了。劉徽用圓內(nèi)接多邊形逼近圓，一般地，人們用小矩形的囬積和逼近曲邊梯形的面積，都是借助極限法,從直線形認(rèn)識曲線形。質(zhì)和量的互變規(guī)律是辯證法的基本規(guī)律之一，在數(shù)學(xué)研究工作屮

9、起重要作用。無労級數(shù)求和、瞬時速度等都是借助極限法，從近似認(rèn)識準(zhǔn)確。二、進(jìn)展情況隨著數(shù)學(xué)科學(xué)的研究，我們的知識體系也趨于完善。極限理論是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)分析主要研宄微分和積分，而極限又是微積分學(xué)大廈的基石，可以說沒有充分的極限理論，就不可能有今天數(shù)學(xué)蓬勃發(fā)展的局面。如今數(shù)學(xué)分析己經(jīng)成為一門重要的數(shù)學(xué)分支，對整個數(shù)學(xué)的面貌的改變起到了不可磨火的貢獻(xiàn)。微積分作力一種重要的數(shù)學(xué)工具，已經(jīng)滲透到科學(xué)的各個領(lǐng)域。作為微積分基石的極限理論也在隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展而發(fā)展，極限理論為整個科學(xué)提供了一個強(qiáng)大工具。

10、三、研究方向求函數(shù)極限，我們可以從很多方面入手。利用定理和準(zhǔn)則、兩個重要極限、極限的運(yùn)算法則、初等函數(shù)的連續(xù)性、洛必達(dá)法則、泰勒公式、定積分求和式極限、極限存在的必要條件、等價無窮小代換……對與一些特殊極限，也可以探討一下它的解題思路（例如兩個重要極限）。另外還可以結(jié)合近期的報(bào)刊和一些現(xiàn)金的思想更深一步的研宄函數(shù)極限。極限運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.但學(xué)生在運(yùn)算過程屮經(jīng)常會出現(xiàn)一些認(rèn)識上的偏差，致使解題失誤.下而就是教學(xué)屮遇到的學(xué)生所出現(xiàn)的一些問題。1忽視等價無窮小替換的條件;2忽視