關(guān)于極限運(yùn)算的探索【畢業(yè)論文】

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1、（20__屆）本科畢業(yè)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)關(guān)于極限運(yùn)算的探索21目錄1、極限的發(fā)展歷史22、求解極限的方法32.1極限的定義、性質(zhì)和存在的條件32.1.1函數(shù)極限的定義32.1.2函數(shù)極限的性質(zhì)42.1.3函數(shù)極限的存在條件42.2幾種常用的求解極限的方法52.2.1利用定理和準(zhǔn)則52.2.2利用兩個(gè)重要極限62.2.3利用極限運(yùn)算法則72.2.4利用初等函數(shù)的連續(xù)性92.2.5利用洛必達(dá)法則102.2.6利用泰勒公式122.2.7利用定積分求和式極限132.2.8利用級數(shù)收斂的必要條件132.2.9利用等價(jià)無窮小代換,求函數(shù)的極限1

2、42.2.10利用有界變量與無窮小量之積仍為無窮小,求函數(shù)的極限142.2.11利用無窮小量與無窮大量的倒數(shù)關(guān)系,求函數(shù)的極限142.2.12利用函數(shù)在點(diǎn)極限存在的充要條件,求函數(shù)的極限153、求解極限方法的應(yīng)用153.1無窮小運(yùn)算定理,無窮小因子代換定理153.2利用洛必達(dá)法則163.3利用夾逼定理163.4總結(jié)164、極限運(yùn)算中值得注意的幾個(gè)問題174.1忽視等價(jià)無窮小替換的條件174.2忽視洛必達(dá)定理的條件174.3忽視極限運(yùn)算法則適用條件194.4忽視變量的變化過程205、總結(jié)206、致謝207主要參考資料：2121關(guān)于極限

3、運(yùn)算的探索摘要：本文主要從極限的發(fā)展歷史、極限的求解方法、極限的應(yīng)用、極限求解中的幾個(gè)問題展開論述，探求極限運(yùn)算規(guī)律.關(guān)鍵詞：極限1、極限的發(fā)展歷史在中國古代數(shù)學(xué)史上,無限思想(極限的最初雛形)占有非常重要的地位.很多哲學(xué)思想無不滲透著極限的光輝思想.著名的莊子一書中有言:一尺之棰,日取其半,而萬世不竭.從中就可體現(xiàn)出我國早期對數(shù)學(xué)中無窮的認(rèn)識水平.而我國第一個(gè)創(chuàng)造性地將無窮思想運(yùn)用到數(shù)學(xué)中,且運(yùn)用相當(dāng)自如的是魏晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家劉徽.他提出用增加圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)來逼近圓的割圓術(shù).公元前三世紀(jì),數(shù)學(xué)之神希臘數(shù)學(xué)家阿基米德所運(yùn)用的窮

4、竭法已備近代極限理論的雛形.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派關(guān)于不可公度量的發(fā)現(xiàn),以及在關(guān)于數(shù)與無限這兩個(gè)概念的定義中就已經(jīng)孕育了微積分學(xué)的關(guān)于無窮的思想方法.柏拉圖和德謨克利特學(xué)派探索過無窮小量觀念等等.第二次數(shù)學(xué)危機(jī)有力地推動(dòng)了極限理論的發(fā)展,其源于微增量相關(guān)的一類計(jì)算.經(jīng)過一個(gè)多世紀(jì)的漫漫征程,幾代數(shù)學(xué)家,包括達(dá)朗貝爾、拉格朗日、貝努力家族、拉普拉斯以及集眾家之大成的歐拉等人的努力,數(shù)量驚人前所未有的處女地被開墾出來,微積分理論獲得了空前豐富.法國著名數(shù)學(xué)家柯西的研究使分析基礎(chǔ)嚴(yán)密化的工作向前邁出了第一大步,在柯西的努力下,連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積

5、分、無窮級數(shù)的和等概念建立在了較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上.不過,在當(dāng)時(shí)情況下,由于實(shí)數(shù)的嚴(yán)格理論未建立起來,所以柯西的極限理論還不可能完善.柯西之后,魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經(jīng)過自己獨(dú)立深入的研究,都將分析基礎(chǔ)歸結(jié)為實(shí)數(shù)理論,并于七十年代各自建立了自己完整的實(shí)數(shù)體系.由此,沿柯西開辟的道路,建立起來的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限理論與實(shí)數(shù)理論,完成了分析學(xué)的邏輯奠基工作.數(shù)學(xué)分析的無矛盾性問題歸納為實(shí)數(shù)論的無矛盾性,從而使微積分學(xué)建在了牢固可靠的基礎(chǔ)之上.極限的思想方法貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終.可以說數(shù)學(xué)分析中的幾乎所有的概念都離不開極限.在幾乎所有的數(shù)

6、學(xué)分析著作中,都是先介紹函數(shù)理論和極限的思想方法,然后利用極限的思想方法給出連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、級數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分的概念.極限思想方法是數(shù)學(xué)分析乃至全部高等數(shù)學(xué)必不可少的一種重要方法,也是數(shù)學(xué)分析與初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別之處.數(shù)學(xué)分析之所以能解決許多初等數(shù)學(xué)無法解決的問題(例如求瞬時(shí)速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體體積等問題),正是由于它采用了極限的思想方法.極限法揭示了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)一關(guān)系,21是唯物辯證法的對立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用.極限理論在現(xiàn)代數(shù)

7、學(xué)乃至物理等學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用,這是由它本身固有的思維功能所決定的.借助極限法,人們可以從有限認(rèn)識無限,從不變認(rèn)識變,從直線形認(rèn)識曲線形,從量變認(rèn)識質(zhì)變,從近似認(rèn)識準(zhǔn)確.無限與有限有本質(zhì)的不同,但二者又有聯(lián)系,無限是有限的發(fā)展.無限個(gè)數(shù)目的和不是一般的代數(shù)和,把它定義為部分和的極限,就是借助極限法,從有限認(rèn)識無限.變與不變反映了事物運(yùn)動(dòng)變化與相對靜止兩種不同狀態(tài),但它們在一定條件下又可相互轉(zhuǎn)化,這種轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)科學(xué)的有力杠桿之一.例如,求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度,這時(shí)速度是變量,為此人們先在小范圍內(nèi)用勻速代替變速,并求其平均速度,把瞬時(shí)

8、速度定義為平均速度的極限,就是借助極限法,從不變認(rèn)識變.曲線形與直線形有本質(zhì)的差異,但在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化,善于利用這種對立統(tǒng)一關(guān)系是處理數(shù)學(xué)問題的重要手段之一.直線形的面積容易求得,要求曲線形的面積,只用初等的方法就不行了.劉徽