幾何代數(shù)結(jié)合綜合題

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1、.幾何與代數(shù)相結(jié)合的綜合問(wèn)題【考點(diǎn)透視】幾何與代數(shù)相結(jié)合的綜合題是初中數(shù)學(xué)中涵蓋廣、綜合性最強(qiáng)的題型.它可以包含初中階段所學(xué)的代數(shù)與幾何的若干知識(shí)點(diǎn)和各種數(shù)學(xué)思想方法，還能有機(jī)結(jié)合探索性、開(kāi)放性等有關(guān)問(wèn)題；它既突出考查了初中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，又突出了與高中銜接的重要內(nèi)容，如函數(shù)、方程、不等式、三角形、四邊形、相似形、圓等.綜觀全國(guó)各地的中考試題，90%左右的壓軸題都是幾何與代數(shù)相結(jié)合的綜合題.就江蘇省十三個(gè)大市來(lái)說(shuō)，有十一個(gè)大市最后的壓軸題都是這樣的題型，占分比例都很高.編制這樣的綜合題，不但考查學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和靈活運(yùn)用知識(shí)的能力；考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)遷移整合能力；考

2、查學(xué)生學(xué)會(huì)將大題分解為小題，逐個(gè)擊破的能力；考查學(xué)生對(duì)幾何與代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，多角度、多層面綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；還考查學(xué)生知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化、創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力.幾何與代數(shù)綜合題在中考試題中還有特別重要的功能，它關(guān)系到整個(gè)試卷的區(qū)分度；有利于高一級(jí)學(xué)校選拔人才.[典型例題]例1.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+4k-3=0（1）求證：無(wú)論k取什么實(shí)數(shù)值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)Rt△ABC的斜邊長(zhǎng)a=，且兩條直角邊的長(zhǎng)b和c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根時(shí)，求△ABC的周長(zhǎng).（2003年江蘇省連云港市中考試題）分析：

3、（1）由一元二次方程根的判別式得△=(2k-3)2+4>0即可.（2）由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，再由直角三角形的勾股定理建立關(guān)于k的一元二次方程，從而求出三角形的另兩邊之和.解：（1）證明：△=[-（2k+1）]2-4×1×(4k-3)=4k2-12k+13=(2k-3)2+4∵無(wú)論k取什么實(shí)數(shù)值，總有(2k-3)2+4>0，即△>0，∴無(wú)論k取什么實(shí)數(shù)值時(shí)，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.（2）由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得b+c=2k+1，bc=4k-3.又在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得b2+c2=a2，∴（b+c）2-2bc=，即(2k+1)2-2(4k

4、-3)=31，整理得，得k2-k-6=0，解這個(gè)方程，得k=-2或k=3.當(dāng)k=-2時(shí)，b+c=-4+1=-3<0，不符合題意，舍去故k=3，此時(shí)b+c=2×3+1=7，故△ABC的周長(zhǎng)為7+.·DCABEO圖13-1說(shuō)明：本題一方面考查學(xué)生一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系及直角三角形中的勾股定理重要內(nèi)容；另一方面又考查學(xué)生一元二次方程解出的兩根是否都符合題意，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)解題的習(xí)慣.例2.如圖13-1，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)D，若AD=2，且AE、AB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2-8x+k=

5、0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（1）求⊙O的半徑；（2）求CD的長(zhǎng).（2003年江蘇省宿遷市中考試題）分析：（1）由圓的切割線(xiàn)定理、方程的根與系數(shù)關(guān)系易求⊙O....的半徑.（2）由切線(xiàn)長(zhǎng)相等，設(shè)CD=CB=x用勾股定理建立關(guān)于x的一元二次方程即可求出CD的長(zhǎng).解：（1）∵AD是⊙O的切線(xiàn)，∴AD2=AE·AB又AD=2∴AE·AB=12∵AE、AB的長(zhǎng)是方程x2-8x+k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根∴AE·AB=k∴k=12，把k=12代入方程x2-8x+k=0，解是x1=2，x2=6，∴⊙O的半徑為（2）∵CB⊥AB，AB經(jīng)過(guò)圓心OCB切⊙O于點(diǎn)B∴CD=CB在Rt△ABC中，設(shè)CD=x

6、則由勾股定理得AB2+BC2=AC2∴62+x2=(2+x)2解得x=2∴CD=2.說(shuō)明：本題考查了學(xué)生的切割線(xiàn)定理、切線(xiàn)長(zhǎng)定理、勾股定理、解一元二次方程及根與系數(shù)關(guān)系等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，并能注意運(yùn)用方程思想去求線(xiàn)段的長(zhǎng).還可討論下列兩個(gè)問(wèn)題:ABC圖13-21、已知：如圖13-2，Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5，兩直角邊AC、BC的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2-(m+5)x+6m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（1）求m的值及AC、BC的長(zhǎng)（BC>AC）.（2）在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上是否存在點(diǎn)D，使得以D、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出CD的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

7、理由.(2003年江蘇省鎮(zhèn)江市中考試題)2、已知：如圖12-3，四邊形ABCD為菱形，AF⊥AD交BD于E，交BC于點(diǎn)F.ADCBFEO圖13-3（1）求證：AD2=；（2）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AF交AB于點(diǎn)G，若線(xiàn)段BE、DE（BE0)的兩個(gè)根，且菱形ABCD的面積為6，求EG的長(zhǎng).xyONM圖13-4（2003年江蘇省無(wú)錫市中考試題）例3.如圖13-4，直線(xiàn)y=-與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N.（1）求M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如果點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)P為圓心，為半徑的圓與直線(xiàn)y=-相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo).（2003年江蘇省