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1、年級六年級學(xué)科奧數(shù)版本通用版課程標(biāo)題數(shù)論綜合（三）編稿老師范雯君一校張琦鋒二校黃楠審核高旭東余數(shù)問題是數(shù)論知識板塊中另一個內(nèi)容豐富，題目難度較大的知識體系，也是各大杯賽、小升初考試必考的奧數(shù)知識點，所以學(xué)好本講知識對于同學(xué)們來說非常重要。余數(shù)問題主要包括了帶余除法的定義，三大余數(shù)定理（加法余數(shù)定理、乘法余數(shù)定理、同余定理），及中國剩余定理和有關(guān)棄九法原理的應(yīng)用。一、帶余除法的定義及性質(zhì)：一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b≠0）,若有a÷b＝q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b，我們就稱上面的除法算式為一個帶余除法算式。這里：（1）當(dāng)時：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商（
2、2）當(dāng)時：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商二、同余的概念和性質(zhì)同余定義：若兩個整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對于模m同余，用式子表示為：a≡b（modm）。（*）上式可讀作：a同余于b，模m。同余式（*）意味著（我們假設(shè)a≥b）：a－b＝mk，k是整數(shù)，即m｜（a－b）例如：①15≡365（mod7），因為365－15＝350＝7×50。②56≡20（mod9），因為56－20＝36＝9×4。③90≡0（mod10），因為90－0＝90＝10×9。由例③我們得到啟發(fā)，a可被m整除，可用同余式表示為：a≡0（modm）。例如，表示a是一個偶數(shù)，可以寫a≡0
3、（mod2）；表示b是一個奇數(shù)，可以寫b≡1（mod2）。同余的性質(zhì)：性質(zhì)1：a≡a（modm）（反身性），這個性質(zhì)很顯然，因為a－a＝0＝m·0。性質(zhì)2：若a≡b（modm），那么b≡a（modm）（對稱性）。性質(zhì)3：若a≡b（modm），b≡c（modm），那么a≡c（modm）（傳遞性）。性質(zhì)4：若a≡b（modm），c≡d（modm），那么a±c≡b±d（modm）（可加減性）。性質(zhì)5：若a≡b（modm），c≡d（modm），那么ac≡bd（modm）（可乘性）。性質(zhì)6：若a≡b（modm），那么an≡bn（modm）（其中n為自然數(shù)）。第5頁版權(quán)所有不得復(fù)制例1一個兩位數(shù)除以7，
4、商和余數(shù)相同，這個兩位數(shù)最小是多少？最大是多少？分析與解：根據(jù)除法中除數(shù)和余數(shù)的關(guān)系，我們知道，余數(shù)一定比除數(shù)小。在這個除法算式中，除數(shù)是7，那么余數(shù)最大是6。因為商和余數(shù)相同，所以當(dāng)商取最大值6時，被除數(shù)取得最大值6×7＋6＝48。當(dāng)商取最小值1時，被除數(shù)是1×7＋1＝8，不滿足被除數(shù)是兩位數(shù)的條件。所以商取2時，被除數(shù)取得最小值2×7＋2＝16，符合題意。所以，這個兩位數(shù)最小是16，最大是48。例2求4500的約數(shù)的個數(shù)。分析與解：先將4500分解質(zhì)因數(shù)，得到4500＝22×32×53，根據(jù)“一個合數(shù)的約數(shù)的個數(shù)等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個質(zhì)因數(shù)的個數(shù)（即指數(shù)）加1的連乘的積”可以得到，4
5、500的約數(shù)的個數(shù)是（2＋1）×（2＋1）×（3＋1）＝36。所以4500有36個約數(shù)。例3所得積的末位數(shù)字是幾？分析與解：我們先找一下數(shù)字乘積的規(guī)律。1×7的個位（末位）是7；7×7的個位是9；7×7×7的個位數(shù)字是3；7×7×7×7的個位數(shù)字是1；7×7×7×7×7的個位數(shù)字又是7，……我們發(fā)現(xiàn)每4個7相乘為一循環(huán)，所以50÷4＝12…2，那么50個7相乘的積的末位數(shù)字就是9。例4自然數(shù)a乘242恰好是自然數(shù)b的平方。求a的最小值。分析與解：因為242＝，要使一個最小的自然數(shù)a乘242后恰好是自然數(shù)b的平方，242只需再乘一個2，這樣得到的積就是，也就是，滿足自然數(shù)b平方的形式，所以a的
6、最小值是2。第5頁版權(quán)所有不得復(fù)制例5用412、133和257除以一個相同的自然數(shù)，所得的余數(shù)相同，這個自然數(shù)最大是幾？分析與解：假設(shè)這個自然數(shù)是a，因為412、133和257除以a所得的余數(shù)相同，所以a
7、（412－133）、a
8、（412－257）、a
9、（257－133），說明a是以上3個數(shù)中任意兩個數(shù)差的因數(shù)。要求a最大是幾，就是求這3個差的最大公約數(shù)。412－133＝279，412－257＝155，257－133＝124，（279，155，124）＝31。所以這個自然數(shù)最大是31。例6某個自然數(shù)被247除余63，被248除余63，求這個自然數(shù)被26除的余數(shù)。分析與解：由題意可知，所求的自
10、然數(shù)減去63的差可被247、248整除，即這個差是247與248的公倍數(shù)。設(shè)所求的自然數(shù)減去63，差是a，則a可被247、248整除。再考慮a能否被26整除。26＝2×13，所以，如果一個數(shù)既是2的倍數(shù)，又是13的倍數(shù)，那么這個數(shù)就一定是26的倍數(shù)，所以問題就轉(zhuǎn)化為研究a能否是2和13的倍數(shù)。分別將247和248分解質(zhì)因數(shù)后發(fā)現(xiàn)247＝19×13，248＝2×124，由此可以得知a分別能被13和2整除，所以a
