數(shù)論綜合（四）

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1、年級六年級學(xué)科奧數(shù)版本通用版課程標(biāo)題數(shù)論綜合（四）編稿老師宋玲玲一校林卉二校黃楠審核高旭東整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類。能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。偶數(shù)通?？梢杂?k（k為整數(shù)）表示，奇數(shù)則可以用2k＋1（k為整數(shù)）表示。任何一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即：，其中為質(zhì)數(shù)，為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的.該式稱為n的質(zhì)因子分解式。奇數(shù)與偶數(shù)有如下的運(yùn)算性質(zhì)：(1)偶數(shù)±偶數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)±奇數(shù)＝偶數(shù)；(2)偶數(shù)±奇數(shù)＝奇數(shù)；(3)偶數(shù)個奇數(shù)相加得偶數(shù)；(4)奇數(shù)個奇數(shù)相加得奇

2、數(shù)；(5)偶數(shù)×奇數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)＝奇數(shù)。質(zhì)因數(shù)：如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)：把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如：.其中2、3、5叫做30的質(zhì)因數(shù).又如，2、3都叫做12的質(zhì)因數(shù)，其中后一個式子叫做分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，在求一個數(shù)約數(shù)的個數(shù)及約數(shù)的和的時候都要用到這個標(biāo)準(zhǔn)式.分解質(zhì)因數(shù)往往是解數(shù)論類題目的突破口，它可以幫助我們分析數(shù)字的特征。例1有蘋果、橘子各一筐，蘋果有240個，橘子有313個，把這兩筐水果平均分給小朋友，已知蘋果分到最

3、后還剩2個，橘子分到最后還剩7個，那么最多有多少個小朋友？分析與解：從240個蘋果中去掉2個，即將238個蘋果平均分給這些小朋友，沒有剩余；從313個橘子中去掉7個，即將306個橘子平均分給這些小朋友，也沒有剩余。那么238和306都是這些小朋友人數(shù)的倍數(shù)，這些小朋友的人數(shù)是238和306的公約數(shù)。求最多有多少個小朋友，實(shí)際上就是在求238與306的最大公約數(shù)。(238，306)＝34，所以最多有34個小朋友。第5頁版權(quán)所有不得復(fù)制答：最多有34個小朋友。例2甲、乙、丙3個自然數(shù)之和是100，甲數(shù)除以乙數(shù)或丙

4、數(shù)除以甲數(shù)，商都是5，余數(shù)都是1。問：乙數(shù)是多少？分析與解：設(shè)乙數(shù)為x，則甲數(shù)是5x＋1，丙數(shù)是5(5x＋1)＋1。根據(jù)題意，得x＋5x＋1＋5(5x＋1)＋1＝100x＋5x＋1＋25x＋5＋1＝10031x＝93x＝3例3某數(shù)除以3余1、除以4余2、除以5余3，除以6余4，這個數(shù)最小是多少？分析與解：觀察后發(fā)現(xiàn)：除數(shù)和余數(shù)均相差2。所以將這個數(shù)添上2后，它分別能被3、4、5、6整除。要求這個數(shù)最小是多少，就要先求出3、4、5、6的最小公倍數(shù)，再減去2即可。[3，4，5，6]－2＝60－2＝58。答：這個數(shù)

5、最小是58。例4如果某個整數(shù)除482、992、1094都余74，那么，這個整數(shù)是幾？分析與解：分別從482、992、1094中減去余數(shù)74，新得到的3個數(shù)都是這個整數(shù)的倍數(shù)。482－74＝408，992－74＝918，1094－74＝1020，即這個整數(shù)是408、918、1020的公約數(shù)。(408，918，1020)＝102，這個整數(shù)只要是102的因數(shù)即可，又根據(jù)已知余數(shù)是74（余數(shù)要比除數(shù)?。?，所以這個整數(shù)只能是102。答：這個整數(shù)是102。例5已知。問：a除以13所得的余數(shù)是幾？分析與解：觀察數(shù)字的特點(diǎn)我

6、們可以發(fā)現(xiàn)，1991＝9999－8008＝9999－1001×8，其中1001＝7×13×11，即1001是13的倍數(shù)，所以8008也是13的倍數(shù)，而9999＝1991＋8008，所以9999與1991除以13所得的余數(shù)相同，問題可轉(zhuǎn)化為研究除以13的余數(shù)。由分析可知，a與b同余。第5頁版權(quán)所有不得復(fù)制整理，注意到111111＝1001×111能被13整除，而1991×4＝6×1327＋2，所以，數(shù)字b與99同余。又因?yàn)?9＝7×13＋8，所以b除以13余8，也就是說a除以13也余8。例6從一張長2002毫米

7、，寬847毫米的長方形紙片上，剪下一個邊長盡可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個邊長盡可能大的正方形。按照上面的過程不斷地重復(fù)，最后剪得的正方形的邊長是多少毫米?分析與解：從長2002毫米、寬847毫米的長方形紙片上首先可剪下邊長為847毫米的正方形，這樣的正方形的個數(shù)恰好是2002除以847所得的商。而余數(shù)恰好是剩下的長方形的寬，于是有：2002÷847＝2……308，847÷308＝2……231，308÷231＝1……77。231÷77＝3。不難得知，最后剪得的正方形的邊

8、長為77毫米。例7已知存在三個小于20的自然數(shù)，它們的最大公約數(shù)是1，且兩兩均不互質(zhì)。請寫出所有可能的答案。分析與解：設(shè)這三個自然數(shù)為a、b、c，且a＜b＜c，因?yàn)閮蓛删换ベ|(zhì)，所以它們均是合數(shù)。小于20的合數(shù)有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。其中只含1種因數(shù)的合數(shù)不滿足題意，所以只剩下6，10，12，14，15，18這6個數(shù)，但是14＝2×7，其中只有14含有質(zhì)因數(shù)7，無法找到