高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 最值問題專題

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1、高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)最值問題專題問題1：函數(shù)的最值問題函數(shù)的最值問題是其他最值問題的基礎(chǔ)之一，許多最值問題最后總是轉(zhuǎn)化為函數(shù)(特別是二次函數(shù))的最值問題.求函數(shù)最值的方法有：配方法、均值不等式法、單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)法、判別式法、有界性、圖象法等.例1：(02年全國理1)設(shè)a為實數(shù)，，（1）討論的奇偶性；（2）求的最小值．思路分析：(1)考察與是否具有相等或相反的關(guān)系；或從特殊情形去估計，再加以驗證．(2)二次函數(shù)的最值解，一般借助于二次函數(shù)的圖像，當(dāng)對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系不確定，則需分類討論．(1)解法一：(利用定義)＋，若都不成立，故不是奇函數(shù)；若為偶函數(shù)，則，即＋

2、此等式對恒成立，只能是．故時，為偶數(shù)；時，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．解法二：(從特殊考慮)又，故不可能是奇函數(shù)．若，則，為偶函數(shù)；若，則，知，故在時，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)．（2）當(dāng)時，，由二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)知：若，函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而函數(shù)在上的最小值為；若，函數(shù)在上的最小值為，且．當(dāng)時，函數(shù)．若，函數(shù)在上的最小值為，且；若，函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而函數(shù)函數(shù)在上的最小值為．綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的最小值是；當(dāng)時，函數(shù)的最小值為；當(dāng)時，函數(shù)的最小值是．點評：1．研究函數(shù)奇偶性的關(guān)鍵是考察函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱以及與是否具有相等或相反的關(guān)系；或從特殊情形去估計，

3、再加以驗證．2．二次函數(shù)的最值解，一般借助于二次函數(shù)的圖像．當(dāng)對稱軸與所給定義域區(qū)間的相對位置關(guān)系不確定，則需分類討論．3．本題根據(jù)絕對值的定義去絕對值后，變形為分段函數(shù)，分段函數(shù)的最值，有些同學(xué)概念不清，把每段函數(shù)的最小值都認(rèn)為是整個函數(shù)的最小值，從而出現(xiàn)了一個函數(shù)有幾個最小值的錯誤結(jié)論．演變1：（05年上海）已知函數(shù)f(x)=kx+b的圖象與x、y軸分別相交于點A、B,(、分別是與x、y軸正半軸同方向的單位向量),函數(shù)g(x)=x2－x－6．(1)求k、b的值;(2)當(dāng)x滿足f(x)>g(x)時,求函數(shù)的最小值．　點撥與提示：由f(x)>g(x)得x的范圍，＝＝

4、x+2+－5，用不等式的知識求其最小值．演變2：（05年北京卷）已知函數(shù)f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a．（I）求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（II）若f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．點撥與提示：本題用導(dǎo)數(shù)的知識求解．問題2：三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何中的最值問題將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用求函數(shù)最值的方法求解．例2：（05年上海）點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，．（1）求點P的坐標(biāo)；（2）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值．　思路分析

5、：將d用點M的坐標(biāo)表示出來，，然后求其最小值．解：（1）由已知可得點A(－6,0),F(0,4)設(shè)點P(,),則={+6,},={－4,},由已知可得，則2+9－18=0,解得　=或=－6．由于>0,只能=,于是=．∴點P的坐標(biāo)是(,)(2)直線AP的方程是－+6=0．設(shè)點M(,0),則M到直線AP的距離是．于是=,又－6≤≤6,解得=2．橢圓上的點(,)到點M的距離有,由于－6≤≤6,∴當(dāng)=時,d取得最小值演變3：xy（05年遼寧）如圖，在直徑為１的圓中，作一關(guān)于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中．(Ⅰ)將十字形的面積表示為的函數(shù)；(Ⅱ)為何值時，十字形的面積最

6、大？最大面積是多少？點撥與提示：將十字型面積S用變量表示出來，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的極值問題，利用三角函數(shù)知識求出S的最大值．問題3：最值的實際應(yīng)用OO1在數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題中經(jīng)常遇到有關(guān)用料最省、成本最低、利潤最大等問題，可考慮建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．例3：（06年江蘇卷）請您設(shè)計一個帳篷．它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）．試問當(dāng)帳篷的頂點O到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？思路分析：將帳蓬的體積用x表示（即建立目標(biāo)函數(shù)），然后求其最大值．解：設(shè)OO1為，則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為：，（單位：）故底面正

7、六邊形的面積為：=，（單位：）帳篷的體積為：（單位：）求導(dǎo)得．令，解得（不合題意，舍去），，當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù)．∴當(dāng)時，最大．答：當(dāng)OO1為時，帳篷的體積最大，最大體積為．點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的基礎(chǔ)知識，以及運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力演變4．（05年湖南）對1個單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗，清洗前其清潔度（含污物體的清潔度定義為：）為0.8，要求洗完后的清潔度是0.99．有兩種方案可供選擇．方案甲：一次清洗；方案乙：分兩次清洗．該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量變?yōu)椋O(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是．用單位質(zhì)量的