中考數(shù)學(xué) 圓的證明與計算題專題研究復(fù)習(xí)教案

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1、《圓的證明與計算》專題研究圓的證明與計算是中考中的一類重要的問題，此題完成情況的好壞對解決后面問題的發(fā)揮有重要的影響，所以解決好此題比較關(guān)鍵。一、考點分析：1.圓中的重要定理:(1)圓的定義:主要是用來證明四點共圓.(2)垂徑定理:主要是用來證明——弧相等、線段相等、垂直關(guān)系等等.(3)三者之間的關(guān)系定理:主要是用來證明——弧相等、線段相等、圓心角相等.(4)圓周角性質(zhì)定理及其推輪:主要是用來證明——直角、角相等、弧相等.(5)切線的性質(zhì)定理:主要是用來證明——垂直關(guān)系.(6)切線的判定定理:主要是用來證明直線是圓的切線.(7)切線長定理:線段相等、垂

2、直關(guān)系、角相等.2.圓中幾個關(guān)鍵元素之間的相互轉(zhuǎn)化:弧、弦、圓心角、圓周角等都可以通過相等來互相轉(zhuǎn)化.這在圓中的證明和計算中經(jīng)常用到.二、考題形式分析：主要以解答題的形式出現(xiàn),第1問主要是判定切線；第2問主要是與圓有關(guān)的計算：①求線段長（或面積）；②求線段比；③求角度的三角函數(shù)值（實質(zhì)還是求線段比）。三、解題秘笈：1、判定切線的方法：（1）若切點明確，則“連半徑，證垂直”。常見手法有：全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化等；有時可通過計算結(jié)合相似、勾股定理證垂直；（2）若切點不明確，則“作垂直，證半徑”。常見手法：角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱

3、藏角平分線；總而言之，要完成兩個層次的證明：①直線所垂直的是圓的半徑（過圓上一點）；②直線與半徑的關(guān)系是互相垂直。在證明中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化,要善于進行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線.例：（1）如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D點，求證：CD為⊙O的切線；（2）如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于D，點E為BC的中點，連結(jié)DE，求證：DE是⊙O的切線.（3）如圖，以等腰△ABC的一腰為直徑作⊙O，交底邊BC于D，交另一腰于F，若DE⊥AC于E（或E為CF中點），求證：DE是⊙O的切

4、線.（4）如圖，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF，交⊙O于點E，過點E作直線ED⊥AF，交AF的延長線于點D，交AB的延長線于點C，求證：CD是⊙O的切線.2、與圓有關(guān)的計算：計算圓中的線段長或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識的結(jié)合，形式復(fù)雜，無規(guī)律性。分析時要重點注意觀察已知線段間的關(guān)系，選擇定理進行線段或者角度的轉(zhuǎn)化。特別是要借助圓的相關(guān)定理進行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，找出所求線段與已知線段的關(guān)系，從而化未知為已知，解決問題。其中重要而常見的數(shù)學(xué)思想方法有：（1）構(gòu)造思想：如：①構(gòu)建矩形轉(zhuǎn)化線段；②構(gòu)建“射影定理”基本

5、圖研究線段（已知任意兩條線段可求其它所有線段長）；③構(gòu)造垂徑定理模型：弦長一半、弦心距、半徑；④構(gòu)造勾股定理模型；⑤構(gòu)造三角函數(shù).（2）方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示關(guān)鍵線段，通過線段之間的關(guān)系，特別是發(fā)現(xiàn)其中的相等關(guān)系建立方程，解決問題。（3）建模思想：借助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問題中的線段關(guān)系，把問題分解為若干基本圖形的問題，通過基本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結(jié)論，進而找出隱藏的線段之間的數(shù)量關(guān)系。3、典型基本圖型：圖形1：如圖1：AB是⊙O的直徑，點E、C是⊙O上的兩點，基本結(jié)論有：（1）在“AC平分∠BAE”；“AD⊥CD”；“DC是⊙O的切線”

6、三個論斷中，知二推一。（2）如圖2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。（3）如圖（4）：若CK⊥AB于K，則：①CK=CD；BK=DE；CK=BE=DC；AE+AB=2BK=2AD;②⊿ADC∽⊿ACBAC2=AD?AB（4）在(1)中的條件①、②、③中任選兩個條件，當(dāng)BG⊥CD于E時（如圖5），則：①DE=GB；②DC=CG；③AD+BG=AB；④AD?BG==DC2圖形2：如圖：Rt⊿ABC中，∠ACB=90°。點O是AC上一點，以O(shè)C為半徑作⊙O交AC于點E，基本結(jié)論有：（1）在“BO平分∠CBA”;“

7、BO∥DE”;“AB是⊙O的切線”;“BD=BC”。四個論斷中，知一推三。（2）①G是⊿BCD的內(nèi)心；②；③⊿BCO∽⊿CDEBO?DE=CO?CE=CE2；（3）在圖（1）中的線段BC、CE、AE、AD中，知二求四。（4）如圖（3），若①BC=CE，則：②==tan∠ADE；③BC：AC：AB=3：4：5；（在①、②、③中知一推二）④設(shè)BE、CD交于點H，,則BH=2EH圖形3：如圖：Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB為直徑作⊙O交AC于D，基本結(jié)論有：如右圖：（1）DE切⊙OE是BC的中點；（2）若DE切⊙O，則：①DE=BE=CE；②D、O

8、、B、E四點共圓∠CED=2∠A③CD·CA=4BE2,圖形特殊化：在（1）的條件下如圖1：D