高中數(shù)學競賽教材講義 第十五章 復數(shù)

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1、第十五章復數(shù)一、基礎(chǔ)知識1．復數(shù)的定義：設(shè)i為方程x2=-1的根，i稱為虛數(shù)單位，由i與實數(shù)進行加、減、乘、除等運算。便產(chǎn)生形如a+bi（a,b∈R）的數(shù)，稱為復數(shù)。所有復數(shù)構(gòu)成的集合稱復數(shù)集。通常用C來表示。2．復數(shù)的幾種形式。對任意復數(shù)z=a+bi（a,b∈R），a稱實部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z).z=ai稱為代數(shù)形式，它由實部、虛部兩部分構(gòu)成；若將(a,b)作為坐標平面內(nèi)點的坐標，那么z與坐標平面唯一一個點相對應，從而可以建立復數(shù)集與坐標平面內(nèi)所有的點構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復數(shù)可

2、以用點來表示，表示復數(shù)的平面稱為復平面，x軸稱為實軸，y軸去掉原點稱為虛軸，點稱為復數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標，復數(shù)z又對應唯一一個向量。因此坐標平面內(nèi)的向量也是復數(shù)的一種表示形式，稱為向量形式；另外設(shè)z對應復平面內(nèi)的點Z，見圖15-1，連接OZ，設(shè)∠xOZ=θ,

3、OZ

4、=r，則a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，這種形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，則θ稱為z的輻角。若0≤θ<2π，則θ稱為z的輻角主值，記作θ=Arg(z).r稱為z的

5、模，也記作

6、z

7、，由勾股定理知

8、z

9、=.如果用eiθ表示cosθ+isinθ，則z=reiθ，稱為復數(shù)的指數(shù)形式。3．共軛與模，若z=a+bi，（a,b∈R）,則a-bi稱為z的共軛復數(shù)。模與共軛的性質(zhì)有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）

10、

11、z1

12、-

13、z2

14、

15、≤

16、z1±z2

17、≤

18、z1

19、+

20、z2

21、；（8）

22、z1+z2

23、2+

24、z1-z2

25、2=2

26、z1

27、2+2

28、z2

29、2；（9）若

30、z

31、=1，則。4．復數(shù)的運算法則：（1）按代數(shù)形式運算加、減、乘、除運算法則與實數(shù)范圍內(nèi)一致，運算結(jié)果可以通過

32、乘以共軛復數(shù)將分母分為實數(shù)；（2）按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和三角形法則；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)，則z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指數(shù)形式記為z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).6.開方：若r(cosθ+isinθ)，則，k=0,1,2,…,n

33、-1。7．單位根：若wn=1，則稱w為1的一個n次單位根，簡稱單位根，記Z1=，則全部單位根可表示為1,,.單位根的基本性質(zhì)有（這里記，k=1,2,…,n-1）：（1）對任意整數(shù)k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Znq+r=Zr；（2）對任意整數(shù)m，當n≥2時，有=特別1+Z1+Z2+…+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-)…(x-).8.復數(shù)相等的充要條件：（1）兩個復數(shù)實部和虛部分別對應相等；（2）兩個復數(shù)的模

34、和輻角主值分別相等。9．復數(shù)z是實數(shù)的充要條件是z=;z是純虛數(shù)的充要條件是：z+=0（且z≠0）.10.代數(shù)基本定理：在復數(shù)范圍內(nèi)，一元n次方程至少有一個根。11．實系數(shù)方程虛根成對定理：實系數(shù)一元n次方程的虛根成對出現(xiàn)，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一個根，則=a-bi也是一個根。12．若a,b,c∈R,a≠0，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0，當Δ=b2-4ac<0時方程的根為二、方法與例題1．模的應用。例1求證：當n∈N+時，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有純虛根。[證明]若z是方

35、程的根，則(z+1)2n=-(z-1)2n，所以

36、(z+1)2n

37、=

38、-(z-1)2n

39、,即

40、z+1

41、2=

42、z-1

43、2,即(z+1)(+1)=(z-1)(-1)，化簡得z+=0，又z=0不是方程的根，所以z是純虛數(shù)。例2設(shè)f(z)=z2+az+b,a,b為復數(shù)，對一切

44、z

45、=1，有

46、f(z)

47、=1，求a,b的值。[解]因為4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)=

48、f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)

49、≥

50、f(1)

51、+

52、f(-1)

53、+

54、f(i)

55、+

56、f(-i)

57、=4

58、，其中等號成立。所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四個向量方向相同，且模相等。所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=b=0.2.復數(shù)相等。例3設(shè)λ∈R，若二次方程(1-i)x2+(λ+i)x+1+λi=0有兩個虛根，求λ滿足的充要條件。[解]若方程有實根，則方程組有實根，由方程組得(λ+1)x+λ+1=0.若λ=-1，則方程x2-x+1=0中Δ<0無實根，所以λ≠-1。所以x=-1,λ=2