慣性矩、靜矩,形心坐標(biāo)公式

《慣性矩、靜矩,形心坐標(biāo)公式》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案§I?1截面的靜矩和形心位置dACZzyyyCZcO圖I?1Z如圖I?1所示平面圖形代表一任意截面，以下兩積分（I?1）分別定義為該截面對(duì)于z軸和y軸的靜矩。靜矩可用來(lái)確定截面的形心位置。由靜力學(xué)中確定物體重心的公式可得利用公式（I?1），上式可寫(xiě)成（I?2）或（I?3）（I?4）精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案如果一個(gè)平面圖形是由若干個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成的組合圖形，則由靜矩的定義可知，整個(gè)圖形對(duì)某一坐標(biāo)軸的靜矩應(yīng)該等于各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一坐標(biāo)軸的靜矩的代數(shù)和。即：（I?5）式中Ai、yci和zci分別表示某一組成部分

2、的面積和其形心坐標(biāo)，n為簡(jiǎn)單圖形的個(gè)數(shù)。將式（I?5）代入式（I?4），得到組合圖形形心坐標(biāo)的計(jì)算公式為（I?6）yC0.12m0.4myⅡyⅠⅠ0.6m0.2mOyzⅠⅡCⅠⅠCⅡC例題I?1圖例題I?1圖a所示為對(duì)稱(chēng)T型截面，求該截面的形心位置。解：建立直角坐標(biāo)系z(mì)Oy，其中y為截面的對(duì)稱(chēng)軸。因圖形相對(duì)于y軸對(duì)稱(chēng)，其形心一定在該對(duì)稱(chēng)軸上，因此zC=0，只需計(jì)算yC值。將截面分成Ⅰ、Ⅱ兩個(gè)矩形，則AⅠ=0.072m2，AⅡ=0.08m2yⅠ=0.46m，yⅡ=0.2m精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案§I?2慣性矩、慣性

3、積和極慣性矩dAρyyO圖I?2zz如圖I?2所示平面圖形代表一任意截面，在圖形平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系z(mì)Oy?，F(xiàn)在圖形內(nèi)取微面積dA，dA的形心在坐標(biāo)系z(mì)Oy中的坐標(biāo)為y和z，到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為ρ?，F(xiàn)定義y2dA和z2dA為微面積dA對(duì)z軸和y軸的慣性矩，ρ2dA為微面積dA對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩，而以下三個(gè)積分（I?7）分別定義為該截面對(duì)于z軸和y軸的慣性矩以及對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩。由圖（I?2）可見(jiàn)，，所以有（I?8）即任意截面對(duì)一點(diǎn)的極慣性矩，等于截面對(duì)以該點(diǎn)為原點(diǎn)的兩任意正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和。另外，微面

4、積dA與它到兩軸距離的乘積zydA稱(chēng)為微面積dA對(duì)y、z軸的慣性積，而積分（I?9）定義為該截面對(duì)于y、z軸的慣性積。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案從上述定義可見(jiàn)，同一截面對(duì)于不同坐標(biāo)軸的慣性矩和慣性積一般是不同的。慣性矩的數(shù)值恒為正值，而慣性積則可能為正，可能為負(fù)，也可能等于零。慣性矩和慣性積的常用單位是m4或mm4?！霫?3慣性矩、慣性積的平行移軸和轉(zhuǎn)軸公式zdACz1y1y1abO圖I?3z1yzy一、慣性矩、慣性積的平行移軸公式圖I?3所示為一任意截面，z、y為通過(guò)截面形心的一對(duì)正交軸，z1、y1為與z、y平行

5、的坐標(biāo)軸，截面形心C在坐標(biāo)系z(mì)1Oy1中的坐標(biāo)為（b，a），已知截面對(duì)z、y軸慣性矩和慣性積為Iz、Iy、Iyz，下面求截面對(duì)z1、y1軸慣性矩和慣性積Iz1、Iy1、Iy1z1。（I?10）同理可得（I?11）式（I?10）、（I?11）稱(chēng)為慣性矩的平行移軸公式。下面求截面對(duì)y1、z1軸的慣性積。根據(jù)定義由于z、y軸是截面的形心軸，所以Sz=Sy=0，即（I?12）式（I?12）稱(chēng)為慣性積的平行移軸公式。二、慣性矩、慣性積的轉(zhuǎn)軸公式圖（I?4）所示為一任意截面，z、y為過(guò)任一點(diǎn)O精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案的一對(duì)正

6、交軸，截面對(duì)z、y軸慣性矩Iz、Iy和慣性積Iyz已知。現(xiàn)將z、y軸繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)α角（以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎┑玫搅硪粚?duì)正交軸z1、y1軸，下面求截面對(duì)z1、y1軸慣性矩和慣性積、、。y1yz1zαααdAz1zyy1O圖I?4（I?13）同理可得（I?14）（I?15）式（I?13）、（I?14）稱(chēng)為慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式，式（I?15）稱(chēng)為慣性積的轉(zhuǎn)軸公式。§I?4形心主軸和形心主慣性矩一、主慣性軸、主慣性矩精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案由式（I?15）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α=0o，即兩坐標(biāo)軸互相重合時(shí)，；當(dāng)α=90o時(shí)，，因此必定有這

7、樣的一對(duì)坐標(biāo)軸，使截面對(duì)它的慣性積為零。通常把這樣的一對(duì)坐標(biāo)軸稱(chēng)為截面的主慣性軸，簡(jiǎn)稱(chēng)主軸，截面對(duì)主軸的慣性矩叫做主慣性矩。假設(shè)將z、y軸繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)α0角得到主軸z0、y0，由主軸的定義從而得（I?16）上式就是確定主軸的公式，式中負(fù)號(hào)放在分子上，為的是和下面兩式相符。這樣確定的α0角就使得等于。由式（I?16）及三角公式可得將此二式代入到式（I?13）、（I?14）便可得到截面對(duì)主軸z0、y0的主慣性矩（I?17）二、形心主軸、形心主慣性矩通過(guò)截面上的任何一點(diǎn)均可找到一對(duì)主軸。通過(guò)截面形心的主軸叫做形心主軸

8、，截面對(duì)形心主軸的慣性矩叫做形心主慣性矩。例題I?5求例I?1中截面的形心主慣性矩。解：在例題I?1中已求出形心位置為，過(guò)形心的主軸z0、y0如圖所示，z0軸到兩個(gè)矩形形心的距離分別為，精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案截面對(duì)z0軸的慣性矩為兩個(gè)矩形對(duì)z0軸的慣性矩之和，即截面對(duì)y0軸慣性矩為精彩文檔